Tato bakalářská práce je zaměřena na vícebodové okrajové úlohy, zejména na tvar vlastních čísel příslušných diferenciálních operátorů a Fučíkovo spektrum. Nejdříve vyšetřujeme Neumannovu a periodickou okrajovou úlohu, poté se zabýváme tříbodovou okrajovou úlohou, která obě předchozí úlohy propojuje. Hlavní výsledky práce se týkají tříbodové okrajové úlohy s tlumením, pro niž jsou analyticky odvozeny hodnoty parametrů, pro které má tato úloha pouze triviální řešení. Dále je provedena numerická konstrukce Fučíkova spektra a konstrukce jeho nepřípustných oblastí, tj. množiny bodů, které do Fučíkova spektra nepatří.
Anotace v angličtině
This Bachelor Thesis is devoted to the multi-point boundary value problems, the eigenvalues and the Fučík spectrum of the corresponding differential operators are investigated. First, the Neumann and the periodic boundary value problem are studied, then the three-point boundary value problem, which connects both previous problems, is investigated. Main results of this Thesis concern the three-point boundary value problem with damping. We provide the analytic description of the values of parameters for which the problem has only the trivial solution. Finally, the numerical construction of the Fučík spectrum is provided as well as the construction of its inadmissible sets (i.e. the sets of points, which do not belong to the Fučík spectrum).
Klíčová slova
okrajová úloha, vícebodová okrajová úloha, vlastní čísla, Fučíkovo spektrum, nepřípustné oblasti Fučíkova spektra
Klíčová slova v angličtině
the boundary value problem, the multi-point boundary value problem, eigenvalues, the Fučík spectrum, inadmissible sets of the Fučík spectrum
Rozsah průvodní práce
53 s. + 6 s. příloh
Jazyk
CZ
Anotace
Tato bakalářská práce je zaměřena na vícebodové okrajové úlohy, zejména na tvar vlastních čísel příslušných diferenciálních operátorů a Fučíkovo spektrum. Nejdříve vyšetřujeme Neumannovu a periodickou okrajovou úlohu, poté se zabýváme tříbodovou okrajovou úlohou, která obě předchozí úlohy propojuje. Hlavní výsledky práce se týkají tříbodové okrajové úlohy s tlumením, pro niž jsou analyticky odvozeny hodnoty parametrů, pro které má tato úloha pouze triviální řešení. Dále je provedena numerická konstrukce Fučíkova spektra a konstrukce jeho nepřípustných oblastí, tj. množiny bodů, které do Fučíkova spektra nepatří.
Anotace v angličtině
This Bachelor Thesis is devoted to the multi-point boundary value problems, the eigenvalues and the Fučík spectrum of the corresponding differential operators are investigated. First, the Neumann and the periodic boundary value problem are studied, then the three-point boundary value problem, which connects both previous problems, is investigated. Main results of this Thesis concern the three-point boundary value problem with damping. We provide the analytic description of the values of parameters for which the problem has only the trivial solution. Finally, the numerical construction of the Fučík spectrum is provided as well as the construction of its inadmissible sets (i.e. the sets of points, which do not belong to the Fučík spectrum).
Klíčová slova
okrajová úloha, vícebodová okrajová úloha, vlastní čísla, Fučíkovo spektrum, nepřípustné oblasti Fučíkova spektra
Klíčová slova v angličtině
the boundary value problem, the multi-point boundary value problem, eigenvalues, the Fučík spectrum, inadmissible sets of the Fučík spectrum
Zásady pro vypracování
Nastudovat známé postupy analytických konstrukcí Fučíkova spektra pro obyčejné diferenciální operátory.
Zkonstruovat Fučíkovo spektrum pro diferenciální operátory druhého řádu s Neumannovými okrajovými podmínkami a s periodickými okrajovými podmínkami.
Provést rekonstrukci Fučíkova spektra pro diferenciální operátor druhého řádu s tříbodovými okrajovými podmínkami u(0) = u(p), u'(0) = u'(1).
Prozkoumat řešitelnost okrajové úlohy s asymetrickými nelinearitami a s výše uvedenými tříbodovými okrajovými podmínkami,
přičemž je uvažováno nenulové tlumení a nulová pravá strana.
Sestrojit bifurkační diagramy pro okrajovou úlohu z předchozího bodu pro různé volby pravé strany diferenciální rovnice. Provést kvalitativní
analýzu získaných bifurkačních diagramů.
Zásady pro vypracování
Nastudovat známé postupy analytických konstrukcí Fučíkova spektra pro obyčejné diferenciální operátory.
Zkonstruovat Fučíkovo spektrum pro diferenciální operátory druhého řádu s Neumannovými okrajovými podmínkami a s periodickými okrajovými podmínkami.
Provést rekonstrukci Fučíkova spektra pro diferenciální operátor druhého řádu s tříbodovými okrajovými podmínkami u(0) = u(p), u'(0) = u'(1).
Prozkoumat řešitelnost okrajové úlohy s asymetrickými nelinearitami a s výše uvedenými tříbodovými okrajovými podmínkami,
přičemž je uvažováno nenulové tlumení a nulová pravá strana.
Sestrojit bifurkační diagramy pro okrajovou úlohu z předchozího bodu pro různé volby pravé strany diferenciální rovnice. Provést kvalitativní
analýzu získaných bifurkačních diagramů.
Seznam doporučené literatury
Coddington, E. A.; Levinson, N. Theory of ordinary differential equations. New York, Toronto, London: McGill--Hill Book Company, Inc. XII, 429 p. 1955.
Fučík, S. Solvability of nonlinear equations and boundary value problems. Mathematics and its Applications, 4. Dordrecht--Boston--London: D. Reidel Publishing Company. X, 390 p. 1980.
Holodniok, M.; Klíč, A.; Kubíček, M.; Marek, M. Metody analýzy nelineárních dynamických modelů. Academia, Praha, 424 p. 1986.
Holubová, G.; Nečesal, P. Nontrivial Fučík spectrum of one non--selfadjoint operator. Nonlinear Anal. 69, no. 9, 2930--2941. 2008.
Seznam doporučené literatury
Coddington, E. A.; Levinson, N. Theory of ordinary differential equations. New York, Toronto, London: McGill--Hill Book Company, Inc. XII, 429 p. 1955.
Fučík, S. Solvability of nonlinear equations and boundary value problems. Mathematics and its Applications, 4. Dordrecht--Boston--London: D. Reidel Publishing Company. X, 390 p. 1980.
Holodniok, M.; Klíč, A.; Kubíček, M.; Marek, M. Metody analýzy nelineárních dynamických modelů. Academia, Praha, 424 p. 1986.
Holubová, G.; Nečesal, P. Nontrivial Fučík spectrum of one non--selfadjoint operator. Nonlinear Anal. 69, no. 9, 2930--2941. 2008.