Rough modely stochastické volatility jsou slibným a rozvíjejícím se oborem v oblasti finančního inženýrství a oceňování derivátů. V této diplomové práci nejprve stručně uvedeme historický kontext a motivaci pro vznik těchto modelů a následně představíme aRFSV model, který sjednocuje a zobecňuje RFSV model a rBergomi model. Dále se pro daný model zaměříme na oceňování Evropských opcí, simulaci a kalibraci na reálná tržní data. Pro oceňování evropských opcí používáme Monte Carlo (MC) simulace. Popíšeme a srovnáme dvě metody pro simulaci frakcionálního Brownova pohybu (fBm): Choleského metodu (neužívající aproximace) a hybridní schéma využívající aproximaci. Ukážeme, že obě metody jsou vhodné pro simulaci modelu, přičemž HS je mnohem rychlejší pro simulaci menšího počtu hustě diskretizovaných trajektorií. Implementujeme také metodu redukce rozptylu zvanou turbocharging, a analyzujeme její vliv na odhad ceny opce. Ukážeme, že tato technika nefunguje vždy správně, a proto navrhujeme jednoduchou modifikaci a přísnější omezení pro modelové koeficienty. Dále se zabýváme kalibrací modelu na reálná tržní data a analyzujeme její robustnost vzhledem k nejistotě v opčních datech pomocí metodologie, která využívá bootstrapování dat. Protože náhodnost hraje při kalibraci s použitím MC simulací značnou roli, zabýváme se kalibrací ve dvou módech: se zafixovaným náhodným semínkem pro oceňování a bez fixace. Zafixováním náhodného semínka se sice odstraní šum MC simulací a oceňování pak neobsahuje náhodnost, nicméně kalibrace je v tomto módu citlivá nejen na volbu náhodného semínka, ale i na nejistotu ve struktuře dat opcí, tj. model je méně robustní. Naopak necháme-li náhodné semínko nezafixované, kalibrace modelu je mnohem stabilnější, robustnější a hodnoty koeficientů vycházejí více podle očekávání. Problém ale následně vyvstává v oceňování, kdy modelové ceny jsou zatíženy šumem z MC simulací. Nakonec porovnáváme výsledky analýzy robustnosti pro aRFSV model s výsledky pro Heston, Bates a AFSVJD model.
Anotace v angličtině
Rough fractional volatility models are a progressive and promising field of research in derivative pricing. In this thesis, we first introduce the aRFSV model, which unifies and generalizes the RFSV model and the rBergomi model, and examine the milestones that motivated its development. For the pricing of a European call, we employ Monte Carlo (MC) simulations. We compare two methods for generating the fractional Brownian motion: the Cholesky method (exact method) and the Hybrid scheme (approximate method). We show that both methods are appropriate for the simulation of the model and that the latter one is much faster for smaller samples of densely discretized paths. We also implement a variance reduction method referred to as turbocharging and analyze its effect on the variance in price estimations. We show that it does not always work well, so we propose a simple modification and a boundary condition for the model coefficients. We then calibrate the model to a real market dataset and analyze its robustness to uncertain option data, which is based on bootstrapping the dataset. Since the randomness plays an important role in calibration while using MC simulations for the pricing, we examine the calibration in two modes: with a fixed random seed for every price evaluation and without fixing the seed. Fixing the seed eliminates the noise of the MC simulations and thus provides static pricing under the model. However, the calibration is very sensitive to the choice of the random seed; moreover, we show it is less robust. Conversely, letting the seed remain unfixed allows a more stable calibration, resulting in more reasonable coefficient estimates and higher robustness. However, there is a price to be paid for such outcome, namely, more difficult pricing involving noise. Last but not least, we compare the aRFSV model with the Heston, Bates, and AFSVJD models.
Klíčová slova
rough model frakcionální volatility; rough Bergomi model; analýza robustnosti; kalibrace; Monte Carlo simulace; hybridní schéma
Klíčová slova v angličtině
rough fractional stochastic volatility; rough Bergomi model; robustness analysis; calibration; Monte Carlo simulation; turbocharged Hybrid scheme
Rozsah průvodní práce
90
Jazyk
AN
Anotace
Rough modely stochastické volatility jsou slibným a rozvíjejícím se oborem v oblasti finančního inženýrství a oceňování derivátů. V této diplomové práci nejprve stručně uvedeme historický kontext a motivaci pro vznik těchto modelů a následně představíme aRFSV model, který sjednocuje a zobecňuje RFSV model a rBergomi model. Dále se pro daný model zaměříme na oceňování Evropských opcí, simulaci a kalibraci na reálná tržní data. Pro oceňování evropských opcí používáme Monte Carlo (MC) simulace. Popíšeme a srovnáme dvě metody pro simulaci frakcionálního Brownova pohybu (fBm): Choleského metodu (neužívající aproximace) a hybridní schéma využívající aproximaci. Ukážeme, že obě metody jsou vhodné pro simulaci modelu, přičemž HS je mnohem rychlejší pro simulaci menšího počtu hustě diskretizovaných trajektorií. Implementujeme také metodu redukce rozptylu zvanou turbocharging, a analyzujeme její vliv na odhad ceny opce. Ukážeme, že tato technika nefunguje vždy správně, a proto navrhujeme jednoduchou modifikaci a přísnější omezení pro modelové koeficienty. Dále se zabýváme kalibrací modelu na reálná tržní data a analyzujeme její robustnost vzhledem k nejistotě v opčních datech pomocí metodologie, která využívá bootstrapování dat. Protože náhodnost hraje při kalibraci s použitím MC simulací značnou roli, zabýváme se kalibrací ve dvou módech: se zafixovaným náhodným semínkem pro oceňování a bez fixace. Zafixováním náhodného semínka se sice odstraní šum MC simulací a oceňování pak neobsahuje náhodnost, nicméně kalibrace je v tomto módu citlivá nejen na volbu náhodného semínka, ale i na nejistotu ve struktuře dat opcí, tj. model je méně robustní. Naopak necháme-li náhodné semínko nezafixované, kalibrace modelu je mnohem stabilnější, robustnější a hodnoty koeficientů vycházejí více podle očekávání. Problém ale následně vyvstává v oceňování, kdy modelové ceny jsou zatíženy šumem z MC simulací. Nakonec porovnáváme výsledky analýzy robustnosti pro aRFSV model s výsledky pro Heston, Bates a AFSVJD model.
Anotace v angličtině
Rough fractional volatility models are a progressive and promising field of research in derivative pricing. In this thesis, we first introduce the aRFSV model, which unifies and generalizes the RFSV model and the rBergomi model, and examine the milestones that motivated its development. For the pricing of a European call, we employ Monte Carlo (MC) simulations. We compare two methods for generating the fractional Brownian motion: the Cholesky method (exact method) and the Hybrid scheme (approximate method). We show that both methods are appropriate for the simulation of the model and that the latter one is much faster for smaller samples of densely discretized paths. We also implement a variance reduction method referred to as turbocharging and analyze its effect on the variance in price estimations. We show that it does not always work well, so we propose a simple modification and a boundary condition for the model coefficients. We then calibrate the model to a real market dataset and analyze its robustness to uncertain option data, which is based on bootstrapping the dataset. Since the randomness plays an important role in calibration while using MC simulations for the pricing, we examine the calibration in two modes: with a fixed random seed for every price evaluation and without fixing the seed. Fixing the seed eliminates the noise of the MC simulations and thus provides static pricing under the model. However, the calibration is very sensitive to the choice of the random seed; moreover, we show it is less robust. Conversely, letting the seed remain unfixed allows a more stable calibration, resulting in more reasonable coefficient estimates and higher robustness. However, there is a price to be paid for such outcome, namely, more difficult pricing involving noise. Last but not least, we compare the aRFSV model with the Heston, Bates, and AFSVJD models.
Klíčová slova
rough model frakcionální volatility; rough Bergomi model; analýza robustnosti; kalibrace; Monte Carlo simulace; hybridní schéma
Klíčová slova v angličtině
rough fractional stochastic volatility; rough Bergomi model; robustness analysis; calibration; Monte Carlo simulation; turbocharged Hybrid scheme
Popsat matematické vlastnosti těchto modelů a postupů jejich simulace, oceňování a kalibrace.
Bude-li to možné, stávající postupy simulace, oceňování a kalibrace vylepšit a nebo navrhnout nové.
Implementovat tyto postupy ve vhodném SW.
Provést srovnání jednotlivých modelů za použití reálných dat.
Seznam doporučené literatury
Bergomi, L. (2016). Stochastic Volatility Modeling.
Chapman and Hall/CRC Financial Mathematics Series. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton. ISBN 978-1-4822-4407-6.
Bayer, C., Friz, P., and Gatheral, J. (2016). Pricing under rough volatility.
Quant. Finance 16(6), 887904. ISSN 1469-7688. doi: 10.1080/14697688.2015.1099717.
Gatheral, J., Jaisson, T., and Rosenbaum, M. (2018). Volatility is rough.
Quant. Finance 18(6), 933949. ISSN 1469-7688. doi: 10.1080/14697688.2017.1393551.
McCrickerd, R. and Pakkanen, M. S. (2018). Turbocharging Monte Carlo pricing for the rough Bergomi model.
Quant. Finance. ISSN 1469-7688. doi: 10.1080/14697688.2018.1459812.
Seznam doporučené literatury
Bergomi, L. (2016). Stochastic Volatility Modeling.
Chapman and Hall/CRC Financial Mathematics Series. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton. ISBN 978-1-4822-4407-6.
Bayer, C., Friz, P., and Gatheral, J. (2016). Pricing under rough volatility.
Quant. Finance 16(6), 887904. ISSN 1469-7688. doi: 10.1080/14697688.2015.1099717.
Gatheral, J., Jaisson, T., and Rosenbaum, M. (2018). Volatility is rough.
Quant. Finance 18(6), 933949. ISSN 1469-7688. doi: 10.1080/14697688.2017.1393551.
McCrickerd, R. and Pakkanen, M. S. (2018). Turbocharging Monte Carlo pricing for the rough Bergomi model.
Quant. Finance. ISSN 1469-7688. doi: 10.1080/14697688.2018.1459812.