Tématem bakalářské práce jsou odhady prvního vlastního čísla okrajových úloh. Odvodili jsme vztah pro horní odhad pomocí Rayleighova podílu a pro dolní odhad s využitím Piconeho identity. Zaměřili jsme se na konstrukci testovací funkce pomocí kubického splinu. Abychom získali zaručený odhad, použili jsme intervalovou aritmetiku. Řešení demonstrujeme na dvou konkrétních úlohách. Potřebné výpočty byly provedeny v Pythonu.
Anotace v angličtině
The topic of this thesis are estimates of principal eigenvalue of boundary value problems. We deduced a formula for upper bound using Rayleigh quotient and for lower bound with Picone identity. We focused on building the test function using the cubic spline. We utilized an interval arithmetic to obtain the guaranteed estimate. Two particular problems are used to demonstrate the calculations, which are programmed in Python.
Klíčová slova
okrajová úloha, první vlastní číslo, zaručený odhad, Rayleighův podíl, Piconeho identita, kubický spline, intervalová aritmetika
Klíčová slova v angličtině
boundary value problem, principal eigenvalue, guaranteed estimate, Rayleigh quotient, Picone identity, cubic spline, interval arithmetic
Rozsah průvodní práce
29 s.
Jazyk
CZ
Anotace
Tématem bakalářské práce jsou odhady prvního vlastního čísla okrajových úloh. Odvodili jsme vztah pro horní odhad pomocí Rayleighova podílu a pro dolní odhad s využitím Piconeho identity. Zaměřili jsme se na konstrukci testovací funkce pomocí kubického splinu. Abychom získali zaručený odhad, použili jsme intervalovou aritmetiku. Řešení demonstrujeme na dvou konkrétních úlohách. Potřebné výpočty byly provedeny v Pythonu.
Anotace v angličtině
The topic of this thesis are estimates of principal eigenvalue of boundary value problems. We deduced a formula for upper bound using Rayleigh quotient and for lower bound with Picone identity. We focused on building the test function using the cubic spline. We utilized an interval arithmetic to obtain the guaranteed estimate. Two particular problems are used to demonstrate the calculations, which are programmed in Python.
Klíčová slova
okrajová úloha, první vlastní číslo, zaručený odhad, Rayleighův podíl, Piconeho identita, kubický spline, intervalová aritmetika
Klíčová slova v angličtině
boundary value problem, principal eigenvalue, guaranteed estimate, Rayleigh quotient, Picone identity, cubic spline, interval arithmetic
Zásady pro vypracování
Seznámit se s pojmem prvního vlastního čísla základních okrajových úloh pro
diferenciální rovnice 2. řádu.
Ukázat, jak lze pomocí variační charakteristiky prvního vlastního čísla odvodit
jeho horní odhady volbou různých testovacích funkcí, zejména polynomiálních či po
částech polynomiálních funkcí. V případě složitějších testovacích funkcí využít počítač.
Ukázat, jak lze pomocí tzv. Piconeho identity odvodit dolní odhady prvního
vlastního čísla, opět volbou různých testovacích funkcí.
Diskuze výsledků.
Zásady pro vypracování
Seznámit se s pojmem prvního vlastního čísla základních okrajových úloh pro
diferenciální rovnice 2. řádu.
Ukázat, jak lze pomocí variační charakteristiky prvního vlastního čísla odvodit
jeho horní odhady volbou různých testovacích funkcí, zejména polynomiálních či po
částech polynomiálních funkcí. V případě složitějších testovacích funkcí využít počítač.
Ukázat, jak lze pomocí tzv. Piconeho identity odvodit dolní odhady prvního
vlastního čísla, opět volbou různých testovacích funkcí.
Diskuze výsledků.
Seznam doporučené literatury
W. Allegretto, Y.X. Huang: A Picone's identity for the p-Laplacian and applications.
Nonlinear Anal. 32 (1998), pp. 819-830.
J. Benedikt, P. Drábek: Estimates of the principal eigenvalue of the p-Laplacian,
J. Math. Anal. Appl. 393 (2012), pp. 311-315.
P. Drábek, S. Míka: Matematická analýza 2. Skripta ZČU Plzeň.
P. Drábek, J. Milota: Methods of Nonlinear Analysis, Applications to Differential
Equations, Birkhäuser Advanced Texts, Birkhäuser, Basel, Boston, Berlin (2007).
Seznam doporučené literatury
W. Allegretto, Y.X. Huang: A Picone's identity for the p-Laplacian and applications.
Nonlinear Anal. 32 (1998), pp. 819-830.
J. Benedikt, P. Drábek: Estimates of the principal eigenvalue of the p-Laplacian,
J. Math. Anal. Appl. 393 (2012), pp. 311-315.
P. Drábek, S. Míka: Matematická analýza 2. Skripta ZČU Plzeň.
P. Drábek, J. Milota: Methods of Nonlinear Analysis, Applications to Differential
Equations, Birkhäuser Advanced Texts, Birkhäuser, Basel, Boston, Berlin (2007).