Bakalářská práce je zaměřena na studium konkrétní obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu, kterou nelze analyticky vyřešit. Nejprve pravou stranu rovnice aproximujeme pomocí Taylorova polynomu 1. a 3. stupně. V obou případech vypočteme a porovnáme řešení aproximací oproti řešení původní úlohy získanému v softwaru Wolfram Mathematica. V druhé části se zaměříme na vlastnosti řešení již ze samotného zadání diferenciální rovnice, jakými jsou například lokální minima a maxima, konkávnost a konvexita a intervaly, kde řešení roste nebo klesá. Nakonec bude řešení rovnice omezeno shora i zdola pomocí Gronwallova lemmatu a jemnějších odhadů na menších intervalech. Součástí práce jsou obrázky vypracované v počítačovém programu Wolfram Mathematica.
Anotace v angličtině
This thesis is focused on the study of a first order ordinary differential equation that cannot be solved analytically. First, we use the Taylor polynomial of the 1st and 3rd degree to approximate the right side of the equation. In both cases, we calculate and compare the solution of the approximations against the solution of the original problem obtained in the Wolfram Mathematica software. In the second part, we will focus on the properties of the solution from the differential equation itself, such as local minima and maxima, concavity and convexity, and intervals where the solution increases or decreases. Finally, the solution of the equation will be bounded from above and below using the Gronwall lemma and finer estimates on smaller intervals. The work includes images created with the computer program Wolfram Mathematica.
Klíčová slova
obyčejné diferenciální rovnice, matematika, aproximace, růstové modely, Taylorův polynom
Klíčová slova v angličtině
ordinary differential equations, mathematics, approximations, growth models, Taylor polynomial
Rozsah průvodní práce
41 s. (40 000 znaků)
Jazyk
CZ
Anotace
Bakalářská práce je zaměřena na studium konkrétní obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu, kterou nelze analyticky vyřešit. Nejprve pravou stranu rovnice aproximujeme pomocí Taylorova polynomu 1. a 3. stupně. V obou případech vypočteme a porovnáme řešení aproximací oproti řešení původní úlohy získanému v softwaru Wolfram Mathematica. V druhé části se zaměříme na vlastnosti řešení již ze samotného zadání diferenciální rovnice, jakými jsou například lokální minima a maxima, konkávnost a konvexita a intervaly, kde řešení roste nebo klesá. Nakonec bude řešení rovnice omezeno shora i zdola pomocí Gronwallova lemmatu a jemnějších odhadů na menších intervalech. Součástí práce jsou obrázky vypracované v počítačovém programu Wolfram Mathematica.
Anotace v angličtině
This thesis is focused on the study of a first order ordinary differential equation that cannot be solved analytically. First, we use the Taylor polynomial of the 1st and 3rd degree to approximate the right side of the equation. In both cases, we calculate and compare the solution of the approximations against the solution of the original problem obtained in the Wolfram Mathematica software. In the second part, we will focus on the properties of the solution from the differential equation itself, such as local minima and maxima, concavity and convexity, and intervals where the solution increases or decreases. Finally, the solution of the equation will be bounded from above and below using the Gronwall lemma and finer estimates on smaller intervals. The work includes images created with the computer program Wolfram Mathematica.
Klíčová slova
obyčejné diferenciální rovnice, matematika, aproximace, růstové modely, Taylorův polynom
Klíčová slova v angličtině
ordinary differential equations, mathematics, approximations, growth models, Taylor polynomial
Zásady pro vypracování
Nastudovat základní teorii obyčejných diferenciálních rovnic včetně aplikací v oblasti finanční matematiky.
Aplikovat získané poznatky na konkrétní zadanou nelineární rovnici prvního řádu a získat informace o vlastnostech řešení.
Nelineární člen aproximovat Taylorovým polynomem 1. a 3. stupně a nalézt řešení příslušných rovnic.
Porovnat jednotlivé teoretické výsledky mezi sebou i s numerickými experimenty.
Zásady pro vypracování
Nastudovat základní teorii obyčejných diferenciálních rovnic včetně aplikací v oblasti finanční matematiky.
Aplikovat získané poznatky na konkrétní zadanou nelineární rovnici prvního řádu a získat informace o vlastnostech řešení.
Nelineární člen aproximovat Taylorovým polynomem 1. a 3. stupně a nalézt řešení příslušných rovnic.
Porovnat jednotlivé teoretické výsledky mezi sebou i s numerickými experimenty.
Seznam doporučené literatury
A. Kufner: Obyčejné diferenciální rovnice, Západočeská univerzita, Plzeň, 1993.
T.H. Gronwall: Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations. Ann. Math. (2) 20 (4), 292-296, 1919.
Ch. Jones: Introduction to economic growth, 2nd edition. W.W. Norton, New York, 2002.
Seznam doporučené literatury
A. Kufner: Obyčejné diferenciální rovnice, Západočeská univerzita, Plzeň, 1993.
T.H. Gronwall: Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations. Ann. Math. (2) 20 (4), 292-296, 1919.
Ch. Jones: Introduction to economic growth, 2nd edition. W.W. Norton, New York, 2002.