Tato práce studuje dynamiku reakčně-difuzní rovnice na diskrétní struktuře úplného grafu na dvou vrcholech. Analyzujeme tři nestandartní nelineární reakční funkce: kvintický polynom, sinusoidu a po částech lineární karikatury spojité periodické funkce. Pro karikatury nacházíme stacionární řešení analyticky a kategorizujeme je do tříd ekvivalence na základě jejich kvalitativních vlastností. Studie odhaluje různorodou dynamiku včetně existence nekonečně mnoha stacionárních řešení. Teoretické poznatky jsou podpořeny numerickými simulacemi, které poskytují lepší vhled do dynamiky nelineárních systémů na triviální grafové struktuře.
Anotace v angličtině
This thesis investigates reaction-diffusion dynamics on finite discrete structures represented by undirected graphs, with a focus on the complete graph on two vertices. We analyze three nonstandard nonlinear reaction functions: a quintic polynomial, a sinusoidal function, and piecewise linear caricatures of periodic functions. For the caricatures, we analytically derive stationary solutions and categorize them into equivalence classes based on their qualitative properties. The study reveals diverse dynamics including infinitely many stationary solutions. Theoretical results are supported by theoretical analysis and numerical simulations on simple graph structures.
Klíčová slova
Reakčně-difuzní systémy, úplný graf na dvou vrcholech, nestandartní reakční funkce, stacionární řešení, třídy ekvivalence
Klíčová slova v angličtině
Reaction-diffusion dynamics, complete graph on two vertices, nonlinear reaction functions, stationary solutions, equivalence classes
Rozsah průvodní práce
vii, 57 s
Jazyk
AN
Anotace
Tato práce studuje dynamiku reakčně-difuzní rovnice na diskrétní struktuře úplného grafu na dvou vrcholech. Analyzujeme tři nestandartní nelineární reakční funkce: kvintický polynom, sinusoidu a po částech lineární karikatury spojité periodické funkce. Pro karikatury nacházíme stacionární řešení analyticky a kategorizujeme je do tříd ekvivalence na základě jejich kvalitativních vlastností. Studie odhaluje různorodou dynamiku včetně existence nekonečně mnoha stacionárních řešení. Teoretické poznatky jsou podpořeny numerickými simulacemi, které poskytují lepší vhled do dynamiky nelineárních systémů na triviální grafové struktuře.
Anotace v angličtině
This thesis investigates reaction-diffusion dynamics on finite discrete structures represented by undirected graphs, with a focus on the complete graph on two vertices. We analyze three nonstandard nonlinear reaction functions: a quintic polynomial, a sinusoidal function, and piecewise linear caricatures of periodic functions. For the caricatures, we analytically derive stationary solutions and categorize them into equivalence classes based on their qualitative properties. The study reveals diverse dynamics including infinitely many stationary solutions. Theoretical results are supported by theoretical analysis and numerical simulations on simple graph structures.
Klíčová slova
Reakčně-difuzní systémy, úplný graf na dvou vrcholech, nestandartní reakční funkce, stacionární řešení, třídy ekvivalence
Klíčová slova v angličtině
Reaction-diffusion dynamics, complete graph on two vertices, nonlinear reaction functions, stationary solutions, equivalence classes
Zásady pro vypracování
Seznamte se s literaturou týkající se vzniku stacionárních vzorků pro mřížkové a grafové diferenciální rovnice a jejich závislosti na síle difúze.
Prostudujte motivace z aplikací, základní teoretické aspekty i srovnání se standardními modely se spojitým prostorem.
Rozšiřte základní tvrzení pro obecnější reakce, např. kvintickou, obecnou polynomiální, obecnou po částech lineární, apod.
Nalezněte numerické bifurkační diagramy ilustrující vznik exponenciálního počtu řešení.
Ve speciálních případech se pokuste ilustrovat analyticky či numericky závislost bifurkačních mechanismů na grafové struktuře.
Rozšiřte výsledky pro grafové modely na tvrzení pro periodická řešení mřížkových rovnic.
Zásady pro vypracování
Seznamte se s literaturou týkající se vzniku stacionárních vzorků pro mřížkové a grafové diferenciální rovnice a jejich závislosti na síle difúze.
Prostudujte motivace z aplikací, základní teoretické aspekty i srovnání se standardními modely se spojitým prostorem.
Rozšiřte základní tvrzení pro obecnější reakce, např. kvintickou, obecnou polynomiální, obecnou po částech lineární, apod.
Nalezněte numerické bifurkační diagramy ilustrující vznik exponenciálního počtu řešení.
Ve speciálních případech se pokuste ilustrovat analyticky či numericky závislost bifurkačních mechanismů na grafové struktuře.
Rozšiřte výsledky pro grafové modely na tvrzení pro periodická řešení mřížkových rovnic.
Seznam doporučené literatury
Jason J. Bramburger and Björn Sandstede. Spatially Localized Structures in Lattice Dynamical Systems. Journal of Nonlinear Science, 30(2):603–644, 2020.
Shui-Nee Chow and Wenxian Shen. Dynamics in a Discrete Nagumo Equation: Spatial Topological Chaos. SIAM Journal on Applied Mathematics, 55(6):1764–1781, 1995.
Hermen Jan Hupkes, Leonardo Morelli, Petr Stehlík, and Vladimír Švígler. Counting and ordering periodic stationary solutions of lattice Nagumo equations. Applied Mathematics Letters, 98:398–405, 2019.
Sergei Petrovskii and Bai-Lian Li. Increased Coupling Between Subpopulations in a Spatially Structured Environment Can Lead to Population Outbreaks. Journal of Theoretical Biology, 212(4):549–562, 2001.
Petr Stehlík. Exponential number of stationary solutions for Nagumo equations on graphs. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 455(2):1749–1764, 2017.
Vladimir Švígler. Periodic stationary solutions of the Nagumo lattice differential equation: Existence regions and their number. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, (23):1–31, 2021.
Seznam doporučené literatury
Jason J. Bramburger and Björn Sandstede. Spatially Localized Structures in Lattice Dynamical Systems. Journal of Nonlinear Science, 30(2):603–644, 2020.
Shui-Nee Chow and Wenxian Shen. Dynamics in a Discrete Nagumo Equation: Spatial Topological Chaos. SIAM Journal on Applied Mathematics, 55(6):1764–1781, 1995.
Hermen Jan Hupkes, Leonardo Morelli, Petr Stehlík, and Vladimír Švígler. Counting and ordering periodic stationary solutions of lattice Nagumo equations. Applied Mathematics Letters, 98:398–405, 2019.
Sergei Petrovskii and Bai-Lian Li. Increased Coupling Between Subpopulations in a Spatially Structured Environment Can Lead to Population Outbreaks. Journal of Theoretical Biology, 212(4):549–562, 2001.
Petr Stehlík. Exponential number of stationary solutions for Nagumo equations on graphs. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 455(2):1749–1764, 2017.
Vladimir Švígler. Periodic stationary solutions of the Nagumo lattice differential equation: Existence regions and their number. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, (23):1–31, 2021.