Hlavním cílem této diplomové práce je seznámit čtenáře s některými historicky významnými diofantovskými rovnicemi. Je zde vysvětlena Pellova rovnice, zobecněná Pellova rovnice a pythagorejská rovnice. Vše je prezentováno pomocí příkladů. Tato práce se zabývá příklady matematické olympiády, kde jsou použity diofantovské rovnice. Popisuje desátý Hilbertův problém a také jeho řešení. Poslední část této práce vysvětluje práci s počítačovým programem Mathematica a je věnována praktickým ukázkám řešení rovnic pomocí tohoto programu.
Anotace v angličtině
The main object of this diploma thesis is acquainting the reader with some
historically significant Diophantine equations. There is explained Pell's equation, generalized Pell's equation and Pythagorean equation. All facts are presented with examples. This thesis deals with examples of mathematical Olympiad, where the Diophantine equations are used. It describes the tenth Hilbert's problem and its solution too. The last part of this thesis explains work with computer program Mathematica and it is devoted to practical examples of solutions to equations with this program.
Hlavním cílem této diplomové práce je seznámit čtenáře s některými historicky významnými diofantovskými rovnicemi. Je zde vysvětlena Pellova rovnice, zobecněná Pellova rovnice a pythagorejská rovnice. Vše je prezentováno pomocí příkladů. Tato práce se zabývá příklady matematické olympiády, kde jsou použity diofantovské rovnice. Popisuje desátý Hilbertův problém a také jeho řešení. Poslední část této práce vysvětluje práci s počítačovým programem Mathematica a je věnována praktickým ukázkám řešení rovnic pomocí tohoto programu.
Anotace v angličtině
The main object of this diploma thesis is acquainting the reader with some
historically significant Diophantine equations. There is explained Pell's equation, generalized Pell's equation and Pythagorean equation. All facts are presented with examples. This thesis deals with examples of mathematical Olympiad, where the Diophantine equations are used. It describes the tenth Hilbert's problem and its solution too. The last part of this thesis explains work with computer program Mathematica and it is devoted to practical examples of solutions to equations with this program.
- prostudovat některé klasické typy diofantovských rovnic vyskytujících se v úlohách
matematické olympiády s přihlédnutím o otázkám řešitelnosti, resp. počtu řešení.
- rozšířit soubor řešených rovnic o některé rovnice významné z pohledu historie matematiky
(např. pythagorejská rovnice, Pellova rovnice a zobecněná Pellova rovnice řešené
s využitím řetězových zlomků atd.).
- Hilbertovy problémy. Desátý Hilbertův problém.
- pokusit se o popis některého z algoritmů pro řešení jistého speciální třídy diofantovských
rovnic v některém z programů počítačové algebry (Maple, Mathematica).
Zásady pro vypracování
- prostudovat některé klasické typy diofantovských rovnic vyskytujících se v úlohách
matematické olympiády s přihlédnutím o otázkám řešitelnosti, resp. počtu řešení.
- rozšířit soubor řešených rovnic o některé rovnice významné z pohledu historie matematiky
(např. pythagorejská rovnice, Pellova rovnice a zobecněná Pellova rovnice řešené
s využitím řetězových zlomků atd.).
- Hilbertovy problémy. Desátý Hilbertův problém.
- pokusit se o popis některého z algoritmů pro řešení jistého speciální třídy diofantovských
rovnic v některém z programů počítačové algebry (Maple, Mathematica).
Seznam doporučené literatury
ANDREESKU, T., ANDRICA, D., An Introduction to Diophantine
Equations. GIL Publishing House, 2002.
BICAN, L. O řešení Pellovy rovnice.
Rozhledy mat. fyz. 56 (1977-1978), 193-198, resp.
Zobecněná Pellova rovnice, Rozhledy mat. fyz. 56 (1977-1978), 257-261.
IRELAND, K., ROSEN, M., A Classical Introduction to Modern
Number Theory.second. ed., Springer, 1990.
Knižní a časopisecké prameny, zdroje na Internetu, manuál
k počítačovým programům Mathematica, Maple.
Seznam doporučené literatury
ANDREESKU, T., ANDRICA, D., An Introduction to Diophantine
Equations. GIL Publishing House, 2002.
BICAN, L. O řešení Pellovy rovnice.
Rozhledy mat. fyz. 56 (1977-1978), 193-198, resp.
Zobecněná Pellova rovnice, Rozhledy mat. fyz. 56 (1977-1978), 257-261.
IRELAND, K., ROSEN, M., A Classical Introduction to Modern
Number Theory.second. ed., Springer, 1990.
Knižní a časopisecké prameny, zdroje na Internetu, manuál
k počítačovým programům Mathematica, Maple.