- The following mandatory fields are not filled in for this Thesis.: Title in English
Main topic
Metody parametrizace algebraických variet
Main topic in English
Parametrization methods of algebraic varieties
Title according to student
Metody parametrizace algebraických variet
English title as given by the student
-
Parallel name
-
Subtitle
-
Annotation
Disertační práce se zabývá speciálními interpolačními technikami rovinných (zadané body s tečnými
vektory) a prostorových (čtyřúhelníková síť? bodů s normálovými vektory) geometrických dat.
V první teoretické části práce se věnujeme Hermitově interpolaci rovinnou kubikou s Pythagorejským
hodografem (PH). Práce opravuje a rozšiřuje výsledky z článku Waltona a Meeka a popisuje všechna vstupní Hermitovská data, pro které existuje PH kubický
interpolant. Navíc je provedena analýza počtu a kvality (zda-li daný interpolant obsahuje
samoprůnik či ne) řešení pro vstupní data. Vzhledem k tomu, že libovolná G^1 Hermitova data není
možné interpolovat pouze jedním PH interpolantem, je v práci dokázáno, že libovolná vstupní G^1
data je možné vždy interpolovat dvěmi částmi PH kubiky a že těchto dvojic interpolantů existuje pro
daná vstupní data nekonečně mnoho. Dále se práce zabývá C^1 Hermitovou interpolací PH kubikami a
podobně jako u G^1 interpolace, libovolná C^1 data je možné interpolovat pomocí dvou oblouků PH
kubiky. V závěru první části je ukázán postup, jak nalézt všechna čtyři možná řešení a je
provedena diskuze ohledn" kvality každého interpolantu, tj. výskytu samoprůniku.
Druhá teoretická část práce se zabývá novou G^n interpolační metodou -- Bubble plátování -- na
čtyřúhelníkových sítích s asociovanými normálovými vektory. Metoda je založena na lokální
konstrukci a lze ji použít pro vrcholy libovolné valence. Pro každý čtyřúhelník v síti je
konstruován takový plát, že je se sousedními pláty napojen v G^n spojitosti. Konstrukce každého
dílčího plátu je založena na Gordon-Coonsově interpolaci a výsledný plát má racionální popis. Pro
G^0, G^1 a G^2 plochy je konstrukce popsána detailněji a
odpovídající spojitost je ověřena pomocí tzv. metody ‘‘reflection lines''.
Annotation in English
This thesis is devoted to special techniques for interpolation of planar (points and associated
tangent vectors) and spatial (quadrilateral mesh of points with associated normal vectors)
data.
In the first theoretical part, we study Hermite interpolation by cubic Pythagorean
hodograph (PH) curves. Inspired by Walton and Meek, we corrected and
extended their results and described all input Hermite data for which an interpolating arc of PH
cubic exists. Moreover, we analyze a number of solutions and existence of a loop on an interpolant
for given data. Further, we prove that arbitrary G^1 Hermite data can be interpolated by at most
two interpolating arcs of PH cubic and there are infinitely many such pairs for any input data.
Finally, we focus on C^1 Hermite interpolation by PH cubic. Similarly to G^1 interpolation, any
C^1 Hermite data can be interpolated by at most two arcs of PH cubics and we present a method
which gives all four possible solutions. We also discuss an appearance of a loop on interpolating
arcs.
The second theoretical part of the thesis deals with Bubble patches as a new method for generating
an interpolation G^n-surface from a quadrilateral mesh with normals. The method is based on a
local construction which works uniformly for vertices of arbitrary valency. For each quadrilateral
we construct a surface patch, represented by a bubble patch, in such a way that these patches are
pieced together with G^n continuity. The construction of a single patch is based on Gordon-Coons
interpolation. The obtained surface is piecewise rational with arbitrary smoothness and
interpolates the vertices and normals. In the case of G^0, G^1 and G^2-surface, the
construction is described in detail. The method can be generalized to G^n-surfaces for any n>=3. We also show different examples of obtained continuity and verify the corresponding
smoothness
with the help of reflection lines.
Disertační práce se zabývá speciálními interpolačními technikami rovinných (zadané body s tečnými
vektory) a prostorových (čtyřúhelníková síť? bodů s normálovými vektory) geometrických dat.
V první teoretické části práce se věnujeme Hermitově interpolaci rovinnou kubikou s Pythagorejským
hodografem (PH). Práce opravuje a rozšiřuje výsledky z článku Waltona a Meeka a popisuje všechna vstupní Hermitovská data, pro které existuje PH kubický
interpolant. Navíc je provedena analýza počtu a kvality (zda-li daný interpolant obsahuje
samoprůnik či ne) řešení pro vstupní data. Vzhledem k tomu, že libovolná G^1 Hermitova data není
možné interpolovat pouze jedním PH interpolantem, je v práci dokázáno, že libovolná vstupní G^1
data je možné vždy interpolovat dvěmi částmi PH kubiky a že těchto dvojic interpolantů existuje pro
daná vstupní data nekonečně mnoho. Dále se práce zabývá C^1 Hermitovou interpolací PH kubikami a
podobně jako u G^1 interpolace, libovolná C^1 data je možné interpolovat pomocí dvou oblouků PH
kubiky. V závěru první části je ukázán postup, jak nalézt všechna čtyři možná řešení a je
provedena diskuze ohledn" kvality každého interpolantu, tj. výskytu samoprůniku.
Druhá teoretická část práce se zabývá novou G^n interpolační metodou -- Bubble plátování -- na
čtyřúhelníkových sítích s asociovanými normálovými vektory. Metoda je založena na lokální
konstrukci a lze ji použít pro vrcholy libovolné valence. Pro každý čtyřúhelník v síti je
konstruován takový plát, že je se sousedními pláty napojen v G^n spojitosti. Konstrukce každého
dílčího plátu je založena na Gordon-Coonsově interpolaci a výsledný plát má racionální popis. Pro
G^0, G^1 a G^2 plochy je konstrukce popsána detailněji a
odpovídající spojitost je ověřena pomocí tzv. metody ‘‘reflection lines''.
Annotation in English
This thesis is devoted to special techniques for interpolation of planar (points and associated
tangent vectors) and spatial (quadrilateral mesh of points with associated normal vectors)
data.
In the first theoretical part, we study Hermite interpolation by cubic Pythagorean
hodograph (PH) curves. Inspired by Walton and Meek, we corrected and
extended their results and described all input Hermite data for which an interpolating arc of PH
cubic exists. Moreover, we analyze a number of solutions and existence of a loop on an interpolant
for given data. Further, we prove that arbitrary G^1 Hermite data can be interpolated by at most
two interpolating arcs of PH cubic and there are infinitely many such pairs for any input data.
Finally, we focus on C^1 Hermite interpolation by PH cubic. Similarly to G^1 interpolation, any
C^1 Hermite data can be interpolated by at most two arcs of PH cubics and we present a method
which gives all four possible solutions. We also discuss an appearance of a loop on interpolating
arcs.
The second theoretical part of the thesis deals with Bubble patches as a new method for generating
an interpolation G^n-surface from a quadrilateral mesh with normals. The method is based on a
local construction which works uniformly for vertices of arbitrary valency. For each quadrilateral
we construct a surface patch, represented by a bubble patch, in such a way that these patches are
pieced together with G^n continuity. The construction of a single patch is based on Gordon-Coons
interpolation. The obtained surface is piecewise rational with arbitrary smoothness and
interpolates the vertices and normals. In the case of G^0, G^1 and G^2-surface, the
construction is described in detail. The method can be generalized to G^n-surfaces for any n>=3. We also show different examples of obtained continuity and verify the corresponding
smoothness
with the help of reflection lines.
