Diplomová práce se zabývá transportní rovnicí na semidiskrétních oblastech. V první části se věnujeme lineární rovnici, kde nejdříve představíme základní vlastnosti klasické transportní parciální diferenciální rovnice, potom zkoumáme semidiskrétní případ s diskrétním prostorem a spojitým časem a poté opačný problém s diskrétním časem a spojitým prostorem. Nakonec studujeme transportní diferenční rovnici. U těchto lineárních úloh se zaměříme na zachování znaménka, sumy a integrálu a jejich souvislosti v teorii pravděpodobnosti. Dále se zde věnujeme periodicitě řešení a směru šíření extrémů. V druhé části analyzujeme nelineární semidiskrétní transportní rovnici s diskrétním prostorem a spojitým časem. Zde zkoumáme existenci a jednoznačnost řešení a odvozujeme principy maxima a minima s jejich důsledky.
Anotace v angličtině
This diploma thesis deals with the transport equation on semidiscrete domains. In the first part we focus on the linear equation. We present basic properties of the classical transport partial differential equation, then we study the semidiscrete case with discrete space and continuous time and then the opposite problem with discrete time and continuous space. Finally, we deal with the transport difference equation. In these linear problems we are concerned with sign, sum and integral preservation and their consequences to the probability theory. Further, we analyze the periodicity of solution and the direction of extremum propagation. In the second part we study the nonlinear semidiscrete transport equation with discrete space and continuous time. We concentrate on the existence and uniqueness results and we derive the maximum and minimum principles with their applications.
Transport Equation, Semidiscrete Domains, Difference Equations, Differential Equations, Nonlinear Equations, Sign Preservation, Integral Preservation, Sum Preservation, Periodicity, Existence, Uniqueness, Maximum Principles
Rozsah průvodní práce
92 s.
Jazyk
AN
Anotace
Diplomová práce se zabývá transportní rovnicí na semidiskrétních oblastech. V první části se věnujeme lineární rovnici, kde nejdříve představíme základní vlastnosti klasické transportní parciální diferenciální rovnice, potom zkoumáme semidiskrétní případ s diskrétním prostorem a spojitým časem a poté opačný problém s diskrétním časem a spojitým prostorem. Nakonec studujeme transportní diferenční rovnici. U těchto lineárních úloh se zaměříme na zachování znaménka, sumy a integrálu a jejich souvislosti v teorii pravděpodobnosti. Dále se zde věnujeme periodicitě řešení a směru šíření extrémů. V druhé části analyzujeme nelineární semidiskrétní transportní rovnici s diskrétním prostorem a spojitým časem. Zde zkoumáme existenci a jednoznačnost řešení a odvozujeme principy maxima a minima s jejich důsledky.
Anotace v angličtině
This diploma thesis deals with the transport equation on semidiscrete domains. In the first part we focus on the linear equation. We present basic properties of the classical transport partial differential equation, then we study the semidiscrete case with discrete space and continuous time and then the opposite problem with discrete time and continuous space. Finally, we deal with the transport difference equation. In these linear problems we are concerned with sign, sum and integral preservation and their consequences to the probability theory. Further, we analyze the periodicity of solution and the direction of extremum propagation. In the second part we study the nonlinear semidiscrete transport equation with discrete space and continuous time. We concentrate on the existence and uniqueness results and we derive the maximum and minimum principles with their applications.
Transport Equation, Semidiscrete Domains, Difference Equations, Differential Equations, Nonlinear Equations, Sign Preservation, Integral Preservation, Sum Preservation, Periodicity, Existence, Uniqueness, Maximum Principles
Zásady pro vypracování
Cílem diplomové práce je přehledné shrnutí stavu literatury v oblasti parciálních rovnic, ve kterých jsou některé proměnné diskrétní a jiné spojité. Dále se očekává analýza některého vybraného problému zahrnujícího buď některé základní úlohy (transportní, vlnovou nebo difúzní rovnici), nebo úlohy pro kterou existuje speciální motivace pro její zkoumání.
Zásady pro vypracování
Cílem diplomové práce je přehledné shrnutí stavu literatury v oblasti parciálních rovnic, ve kterých jsou některé proměnné diskrétní a jiné spojité. Dále se očekává analýza některého vybraného problému zahrnujícího buď některé základní úlohy (transportní, vlnovou nebo difúzní rovnici), nebo úlohy pro kterou existuje speciální motivace pro její zkoumání.
Seznam doporučené literatury
Kelley W. G., Peterson A. C., Difference Equations, Academic Press, 2001.
Cheng S. S., Partial Difference Equations, Taylor & Francis, London, 2003.
Pötzsche C., Geometric theory of discrete nonautonomous dynamical systems, Springer Verlag, Heidelberg, 2010.
Bohner M., Peterson A., Dynamic Equations on Time Scales, Birkhäuser Boston, Boston, 2001.
Logan J. D., An Introduction to Nonlinear Partial Differential Equations, John Wiley, Ney Jersey, 2008.
Seznam doporučené literatury
Kelley W. G., Peterson A. C., Difference Equations, Academic Press, 2001.
Cheng S. S., Partial Difference Equations, Taylor & Francis, London, 2003.
Pötzsche C., Geometric theory of discrete nonautonomous dynamical systems, Springer Verlag, Heidelberg, 2010.
Bohner M., Peterson A., Dynamic Equations on Time Scales, Birkhäuser Boston, Boston, 2001.
Logan J. D., An Introduction to Nonlinear Partial Differential Equations, John Wiley, Ney Jersey, 2008.