Tato bakalářská práce se zabývá především teorií konformního zobrazení v komplexní rovině. Dále je zde uvedeno, jak hledat řešení Laplaceovy rovnice pomocí konstrukce vhodné holomorfní funkce a konformního zobrazení. Poté je zde popsána Schwarzova-Christoffelova transformace pro jednoduše souvislou oblast. Poslední část je věnována konformnímu zobrazení vícenásobně souvislých oblastí.
Anotace v angličtině
This thesis deals with theory of a conformal map in a complex plane. We explain how to solve Laplace equation by constructing holomorphic function and conformal map. In the next part we focus on Schwarz-Christoffel transformation for simple connected domain. The last part is devoted to a conformal mapping of multiply connected domain.
Klíčová slova
konformní zobrazení, Laplaceova rovnice, zobrazení vícenásobně souvislé oblasti, Schwarzova-Christoffelova transformace
Tato bakalářská práce se zabývá především teorií konformního zobrazení v komplexní rovině. Dále je zde uvedeno, jak hledat řešení Laplaceovy rovnice pomocí konstrukce vhodné holomorfní funkce a konformního zobrazení. Poté je zde popsána Schwarzova-Christoffelova transformace pro jednoduše souvislou oblast. Poslední část je věnována konformnímu zobrazení vícenásobně souvislých oblastí.
Anotace v angličtině
This thesis deals with theory of a conformal map in a complex plane. We explain how to solve Laplace equation by constructing holomorphic function and conformal map. In the next part we focus on Schwarz-Christoffel transformation for simple connected domain. The last part is devoted to a conformal mapping of multiply connected domain.
Klíčová slova
konformní zobrazení, Laplaceova rovnice, zobrazení vícenásobně souvislé oblasti, Schwarzova-Christoffelova transformace
Nastudujte a popište metodu konformního zobrazení pro řešení okrajových úloh
pro Laplaceovu rovnici. Zaměřte se na Schwarz-Christoffelovu transformaci.
Uvažujte Laplaceovu rovnici na Vámi zvolených jednoduše souvislých oblastech
(např. obdélník, kruh, oblast ve tvaru písmene L či H) s kombinací Dirichletových
a Neumannových okrajových podmínek na hranici. Pokud je to možné, najděte
analytický předpis pro řešení. Pomocí metody konformního zobrazení najděte numerická
řešení okrajových úloh. Zaměřte se na okrajové úlohy se singularitami v okrajových podmínkách
(uvažujte např. tzv. Motzův problém).
Prozkoumejte možnosti dostupných numerických řešičů (Matlab, Mathematica apod.)
pro úlohy se singularitami v okrajových podmínkách. Použijte řešiče na Vámi
zvolenou okrajovou úlohu. Výsledky provnejte s výsledky získané pomocí konformního zobrazení.
V roce 2007 byla dokázána zobecněná Schwarz-Christoffelova formule, což znamenalo
průlom v teorii konformního zobrazení. Objasněte význam tohoto zobecnění
a ilustrujte ho na vhodně zvolených příkladech.
Zásady pro vypracování
Nastudujte a popište metodu konformního zobrazení pro řešení okrajových úloh
pro Laplaceovu rovnici. Zaměřte se na Schwarz-Christoffelovu transformaci.
Uvažujte Laplaceovu rovnici na Vámi zvolených jednoduše souvislých oblastech
(např. obdélník, kruh, oblast ve tvaru písmene L či H) s kombinací Dirichletových
a Neumannových okrajových podmínek na hranici. Pokud je to možné, najděte
analytický předpis pro řešení. Pomocí metody konformního zobrazení najděte numerická
řešení okrajových úloh. Zaměřte se na okrajové úlohy se singularitami v okrajových podmínkách
(uvažujte např. tzv. Motzův problém).
Prozkoumejte možnosti dostupných numerických řešičů (Matlab, Mathematica apod.)
pro úlohy se singularitami v okrajových podmínkách. Použijte řešiče na Vámi
zvolenou okrajovou úlohu. Výsledky provnejte s výsledky získané pomocí konformního zobrazení.
V roce 2007 byla dokázána zobecněná Schwarz-Christoffelova formule, což znamenalo
průlom v teorii konformního zobrazení. Objasněte význam tohoto zobecnění
a ilustrujte ho na vhodně zvolených příkladech.
Seznam doporučené literatury
P. Drábek, G. Holubová: Elements of partial differential equations. 2nd revised and extended ed.
De Gruyter Textbook. Berlin: Walter de Gruyter. xiii, 277 p. (2014).
T.A. Driscoll, L.N. Thefethen: Schwarz-Christoffel Mapping.
Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2002.
D. Crowdy: Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions.
Math. Camb. Phil. Soc., 142 (2007), 319-339.
W. Luo, J. Dai, X. Gu, S.-T. Yau: Numerical conformal mapping of multiply connected domains
to regions with circular boundaries. J. Comput. Appl. Math. 233, No. 11, 2940-2947 (2010).
Seznam doporučené literatury
P. Drábek, G. Holubová: Elements of partial differential equations. 2nd revised and extended ed.
De Gruyter Textbook. Berlin: Walter de Gruyter. xiii, 277 p. (2014).
T.A. Driscoll, L.N. Thefethen: Schwarz-Christoffel Mapping.
Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2002.
D. Crowdy: Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions.
Math. Camb. Phil. Soc., 142 (2007), 319-339.
W. Luo, J. Dai, X. Gu, S.-T. Yau: Numerical conformal mapping of multiply connected domains
to regions with circular boundaries. J. Comput. Appl. Math. 233, No. 11, 2940-2947 (2010).