Informace o kvalifikační práci Qualitative study of problems for elliptic (possibly also parabolic) equations with measure data - solvability, bifurcation, approximation of solutions
- Všechny požadované údaje o této VŠKP jsou vyplněny.
Hlavní téma
Kvalitativní studium úloh pro eliptické (příp. i parabolické) rovnice s daty obsahujícími míru a/nebo šum - řešitelnost, bifurkace, aproximace řešení
Hlavní téma v angličtině
Qualitative study of problems for elliptic (possibly also parabolic) equations with measure data and/or noise - solvability, bifurcation, approximation of solution
Název dle studenta
Qualitative study of problems for elliptic (possibly also parabolic) equations with measure data - solvability, bifurcation, approximation of solutions
Název dle studenta v angličtině
Qualitative study of problems for elliptic (possibly also parabolic) equations with measure data - solvability, bifurcation, approximation of solutions
Práce se zabývá řešitelností semilineárních eliptických parciálních diferenciálních rovnic v resonanci s mírou na pravé straně. Řešení uvažujeme ve velmi slabém smyslu (tedy řešení z prostoru L^1(D)). Kokrétně předpokádáme, že D je omezená oblast v R^N s hranicí třídy C^2, nelineární člen g je spojitá funkce s omezeným růstem (g je omezená nebo má sublineární růst) a zdrojový člen je omezená Radonova míra.
Podle autorova nejlepšího vědomí, originálními výsledky práce jsou důkazy řešitelnosti lineární verze problému mimo resonanci v dimenzi N=2, Fredholmovy alternativy pro Laplaceův operátor s homogeními Dirichletovými okrajovými podmínkami ve velmi slabém smyslu a řešitelnosti semilineárního problém mimo a v resonanci. Poslední výsledek byl dosažen díky formulování Landesman-Lazerových podmínek pro zdrojový člen - Radonovu míru na pravé straně.
Anotace v angličtině
This work concerns the solvability of the semi-linear elliptic partial differential equations at resonance with measure data in the very weak sense, i.e., the solution is an element of the space L^1(D). Particularly, we assume D to be a bounded domain in R^N with C^2 boundary, non-linearity g to be a continuous function with restricted rate of growth (bounded or sub-linear) and the source term to be a bounded real Radon measure on D.
To the best of the author's knowledge, the original contributions to the topic are: the solvability of the linear version of problem out of resonance for the dimension N = 2, the Fredholm alternative for the Laplace's operator with homogeneous Dirichlet boundary conditions in the very weak sense
and the solvability of the semi-linear problem out of and at resonance. The latter is obtained through posing conditions of Landesman-Lazer type on the source Radon measure.
Klíčová slova
eliptické PDR, Radonova míra, data obdahující míru, Greenova funkce, Landesman-Lazer
Práce se zabývá řešitelností semilineárních eliptických parciálních diferenciálních rovnic v resonanci s mírou na pravé straně. Řešení uvažujeme ve velmi slabém smyslu (tedy řešení z prostoru L^1(D)). Kokrétně předpokádáme, že D je omezená oblast v R^N s hranicí třídy C^2, nelineární člen g je spojitá funkce s omezeným růstem (g je omezená nebo má sublineární růst) a zdrojový člen je omezená Radonova míra.
Podle autorova nejlepšího vědomí, originálními výsledky práce jsou důkazy řešitelnosti lineární verze problému mimo resonanci v dimenzi N=2, Fredholmovy alternativy pro Laplaceův operátor s homogeními Dirichletovými okrajovými podmínkami ve velmi slabém smyslu a řešitelnosti semilineárního problém mimo a v resonanci. Poslední výsledek byl dosažen díky formulování Landesman-Lazerových podmínek pro zdrojový člen - Radonovu míru na pravé straně.
Anotace v angličtině
This work concerns the solvability of the semi-linear elliptic partial differential equations at resonance with measure data in the very weak sense, i.e., the solution is an element of the space L^1(D). Particularly, we assume D to be a bounded domain in R^N with C^2 boundary, non-linearity g to be a continuous function with restricted rate of growth (bounded or sub-linear) and the source term to be a bounded real Radon measure on D.
To the best of the author's knowledge, the original contributions to the topic are: the solvability of the linear version of problem out of resonance for the dimension N = 2, the Fredholm alternative for the Laplace's operator with homogeneous Dirichlet boundary conditions in the very weak sense
and the solvability of the semi-linear problem out of and at resonance. The latter is obtained through posing conditions of Landesman-Lazer type on the source Radon measure.
Klíčová slova
eliptické PDR, Radonova míra, data obdahující míru, Greenova funkce, Landesman-Lazer
Nastudovat příslušnou teorii týkající se úloh se vstupními daty obsahujícími míry. Vyšetřovat řešitelnost okrajových úloh pro nelineární eliptické rovnice s mírami a/nebo šumem na pravé straně a případně práci rozšířit o výsledky týkající se počátečně-okrajových úloh pro nelineární parabolické rovnice s mírami a/nebo šumem v počáteční podmínce nebo na pravé straně. Studovat některé metody numerické aproximace výše uvedených úloh.
Zásady pro vypracování
Nastudovat příslušnou teorii týkající se úloh se vstupními daty obsahujícími míry. Vyšetřovat řešitelnost okrajových úloh pro nelineární eliptické rovnice s mírami a/nebo šumem na pravé straně a případně práci rozšířit o výsledky týkající se počátečně-okrajových úloh pro nelineární parabolické rovnice s mírami a/nebo šumem v počáteční podmínce nebo na pravé straně. Studovat některé metody numerické aproximace výše uvedených úloh.
Seznam doporučené literatury
Attouch, Hedy; Buttazzo, Giuseppe; Michaille, Gérard Variational analysis in Sobolev and BV spaces.Applications to PDEs and optimization. Second edition. MOS-SIAM Series on Optimization. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA; Mathematical Optimization Society, Philadelphia, PA, 2014. xii+793 pp. ISBN: 978-1-611973-47-1.
Bogachev, V. I. Measure theory. Vol. I, II. Springer-Verlag, Berlin, 2007. Vol. I: xviii+500 pp., Vol. II: xiv+575 pp. ISBN: 978-3-540-34513-8; 3-540-34513-2.
Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001. xiv+517 pp. ISBN: 3-540-41160-7.
Friedman, Avner Partial differential equations of parabolic type. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. 1964 xiv+347 pp.
Marcus, Moshe; Véron, Laurent Nonlinear second order elliptic equations involving measures. De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 21. De Gruyter, Berlin, 2014. xiv+248 pp. ISBN: 978-3-11-030515-9; 978-3-11-030531-9.
Marcus, Moshe; Veron, Laurent Capacitary estimates of solutions of semilinear parabolic equations. Calc. Var. Partial Differential Equations 48 (2013), no. 1-2, 131183.
Marcus, Moshe; Veron, Laurent Boundary trace of positive solutions of semilinear elliptic equations in Lipschitz domains: the subcritical case. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 10 (2011), no. 4, 913984.
Rakotoson, J. M. Linear equation with data in non standard spaces. Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Lincei Mat. Appl. 26 (2015), no. 3, 241262. 35J25 (35A01 35A02)-Merker, Jochen; Rakotoson, Jean-Michel Very weak solutions of Poisson's equation with singular data under Neumann boundary conditions. Calc. Var. Partial Differential Equations 52 (2015), no. 3-4, 705726.
Díaz, J. I.; Rakotoson, J. M. On the differentiability of very weak solutions with right-hand side data integrable with respect to the distance to the boundary. J. Funct. Anal. 257 (2009), no. 3, 807831.
Seznam doporučené literatury
Attouch, Hedy; Buttazzo, Giuseppe; Michaille, Gérard Variational analysis in Sobolev and BV spaces.Applications to PDEs and optimization. Second edition. MOS-SIAM Series on Optimization. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA; Mathematical Optimization Society, Philadelphia, PA, 2014. xii+793 pp. ISBN: 978-1-611973-47-1.
Bogachev, V. I. Measure theory. Vol. I, II. Springer-Verlag, Berlin, 2007. Vol. I: xviii+500 pp., Vol. II: xiv+575 pp. ISBN: 978-3-540-34513-8; 3-540-34513-2.
Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001. xiv+517 pp. ISBN: 3-540-41160-7.
Friedman, Avner Partial differential equations of parabolic type. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. 1964 xiv+347 pp.
Marcus, Moshe; Véron, Laurent Nonlinear second order elliptic equations involving measures. De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 21. De Gruyter, Berlin, 2014. xiv+248 pp. ISBN: 978-3-11-030515-9; 978-3-11-030531-9.
Marcus, Moshe; Veron, Laurent Capacitary estimates of solutions of semilinear parabolic equations. Calc. Var. Partial Differential Equations 48 (2013), no. 1-2, 131183.
Marcus, Moshe; Veron, Laurent Boundary trace of positive solutions of semilinear elliptic equations in Lipschitz domains: the subcritical case. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 10 (2011), no. 4, 913984.
Rakotoson, J. M. Linear equation with data in non standard spaces. Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Lincei Mat. Appl. 26 (2015), no. 3, 241262. 35J25 (35A01 35A02)-Merker, Jochen; Rakotoson, Jean-Michel Very weak solutions of Poisson's equation with singular data under Neumann boundary conditions. Calc. Var. Partial Differential Equations 52 (2015), no. 3-4, 705726.
Díaz, J. I.; Rakotoson, J. M. On the differentiability of very weak solutions with right-hand side data integrable with respect to the distance to the boundary. J. Funct. Anal. 257 (2009), no. 3, 807831.