Tato bakalářská práce se zabývá Fučíkovým spektrem okrajových úloh pro diferenciální rovnice druhého řádu. Nejprve řešíme okrajovou úlohu pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. Analytické řešení porovnáváme s výsledky získanými pomocí několika numerických metod. V další části použijeme stejné postupy pro řešení okrajové úlohy pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici s nekonstantními koeficienty. Poslední část je věnována řešení okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnici a numerickým experimentům s řešičem PDE Toolbox, který je součástí programu MATLAB.
Annotation in English
This Bachelor Thesis deals with the Fučík spectrum of boundary value problems for second order differential equations. First, we solve a boundary value problem for ordinary linear differential equation with constant coefficients. We compare the analytical solution with results obtained by several numerical methods. In the next part, we use the same techniques for solving a boundary value problem for ordinary linear differential equation with non-constant coefficients. The last part is dedicated to solving a boundary value problem for partial differential equation and numerical experiments with the solver PDE Toolbox, which is a component of the programme MATLAB.
Keywords
Fučíkovo spektrum, okrajová úloha, vlastní číslo, vlastní funkce, Besselova funkce, radiálně symetrická řešení
Keywords in English
the Fučík spectrum, boundary value problem, eigenvalue, eigenfunction, Bessel function, radially symmetric solutions
Length of the covering note
78 s.
Language
CZ
Annotation
Tato bakalářská práce se zabývá Fučíkovým spektrem okrajových úloh pro diferenciální rovnice druhého řádu. Nejprve řešíme okrajovou úlohu pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty. Analytické řešení porovnáváme s výsledky získanými pomocí několika numerických metod. V další části použijeme stejné postupy pro řešení okrajové úlohy pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici s nekonstantními koeficienty. Poslední část je věnována řešení okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnici a numerickým experimentům s řešičem PDE Toolbox, který je součástí programu MATLAB.
Annotation in English
This Bachelor Thesis deals with the Fučík spectrum of boundary value problems for second order differential equations. First, we solve a boundary value problem for ordinary linear differential equation with constant coefficients. We compare the analytical solution with results obtained by several numerical methods. In the next part, we use the same techniques for solving a boundary value problem for ordinary linear differential equation with non-constant coefficients. The last part is dedicated to solving a boundary value problem for partial differential equation and numerical experiments with the solver PDE Toolbox, which is a component of the programme MATLAB.
Keywords
Fučíkovo spektrum, okrajová úloha, vlastní číslo, vlastní funkce, Besselova funkce, radiálně symetrická řešení
Keywords in English
the Fučík spectrum, boundary value problem, eigenvalue, eigenfunction, Bessel function, radially symmetric solutions
Research Plan
Nastudovat známé postupy analytických konstrukcí Fučíkova spektra pro obyčejné diferenciální operátory.
Zaměřit se na studium vlastních čísel a vlastních funkcí Laplaceova operátoru na kruhu s Dirichletovými okrajovými podmínkami.
Za předpokladu radiální symetrie vlastních funkcí zkonstruovat části Fučíkova spektra uvažovaného Laplaceova operátoru.
Prozkoumat závislost vlastních čísel (případně i částí Fučíkova spektra) zkoumaného Laplaceova operátoru vzhledem k tvarové změně oblasti s Dirichletovými okrajovými podmínkami.
Research Plan
Nastudovat známé postupy analytických konstrukcí Fučíkova spektra pro obyčejné diferenciální operátory.
Zaměřit se na studium vlastních čísel a vlastních funkcí Laplaceova operátoru na kruhu s Dirichletovými okrajovými podmínkami.
Za předpokladu radiální symetrie vlastních funkcí zkonstruovat části Fučíkova spektra uvažovaného Laplaceova operátoru.
Prozkoumat závislost vlastních čísel (případně i částí Fučíkova spektra) zkoumaného Laplaceova operátoru vzhledem k tvarové změně oblasti s Dirichletovými okrajovými podmínkami.
Recommended resources
Coddington, E. A.; Levinson, N.: Theory of ordinary differential equations, New York, Toronto, London, McGill--Hill Book Company, Inc. XII, 429 p, 1955
Fučík, S.: Solvability of nonlinear equations and boundary value problems, Mathematics and its Applications, 4, Dordrecht--Boston--London, D. Reidel Publishing Company, X, 390 p, 1980
Brown, B. M., Reichel, W.: Computing eigenvalues and Fučík-spectrum of the radially symmetric p-Laplacian, J. Comput. Appl. Math. 148, No. 1, 183--211, 2002
Horák, J., Reichel, W.: Analytical and numerical results for the Fučík spectrum of the Laplacian, J. Comput. Appl. Math. 161, No. 2, 313--338, 2003
Recommended resources
Coddington, E. A.; Levinson, N.: Theory of ordinary differential equations, New York, Toronto, London, McGill--Hill Book Company, Inc. XII, 429 p, 1955
Fučík, S.: Solvability of nonlinear equations and boundary value problems, Mathematics and its Applications, 4, Dordrecht--Boston--London, D. Reidel Publishing Company, X, 390 p, 1980
Brown, B. M., Reichel, W.: Computing eigenvalues and Fučík-spectrum of the radially symmetric p-Laplacian, J. Comput. Appl. Math. 148, No. 1, 183--211, 2002
Horák, J., Reichel, W.: Analytical and numerical results for the Fučík spectrum of the Laplacian, J. Comput. Appl. Math. 161, No. 2, 313--338, 2003
