Práce se zabývá otázkami řešitelnosti nelokálních neboli vícebodových okrajových úloh. Konkrétně se v práci zkoumají tři úlohy: tříbodová okrajová úloha, tříbodová okrajová úloha s tlumením a čtyřbodová okrajová úloha.
Hledáme systémy vlastních čísel a jim odpovídající systémy vlastních funkcí. Dále ukazujeme zajímavou myšlenku transformace vícebodové okrajové úlohy na jinou úlohu a na příkladě ukazujeme ekvivalenci použitých postupů.
Naznačujeme dvě další transformace vícebodové okrajové úlohy s tlumením na vícebodovu okrajovou úlohu bez tlumení. Ovšem zaplatíme za to tak, že bud' obdržíme okrajovou úlohu s jinými koncovými body a nekonstantním koeficientem v rovnici, anebo dostaneme úlohu s jinou tříbodovou podmínkou s nejednotkovým koeficientem.
Na konci práce hledáme tzv. Fučíkovo spektrum tříbodové úlohy a ukazujeme analytické předpisy Fučíkových větví a hledáme netriviální řešení úlohy pomocí prostředí MATLAB. Jinými slovy hledáme vlastní funkce příslušné úlohy. Veškeré výsledky pro různé hodnoty parametrů graficky znázorňujeme.
Annotation in English
Our diploma thesis deals with questions of solvability or multipoint or nonlocal boundary value problems. Specifically, in this work are investigated the following boundary value problems: three-point problem, three-point problem with damping and four-point problem.
We are looking for systems of eigenvalues and corresponding eigenfunctions systems. Furthermore, we show an interesting idea of transformation multipoint boundary value problems for another problem, and we show the equivalence of the procedures on the example. We also suggest two further transformation multipoint boundary value problems with damping in multi-point boundary value problem without damping. But pay for it so that either receive a marginal role with other end points and non-constant factor in the equation, or get a boundary problem with another three-point condition.
At the end of the work we are looking for the Fucik spectrum of three-point problem and show regulations Fucik branches and look for a nontrivial solution of the problem using MATLAB. All results for different parameter values graphically illustrates.
Keywords
Nelokální okrajová úloha, systém vlastních čísel, systém vlastních funkcí, samoadjungovaný operátor, nelokální okrajová úloha Fučíkova typu
Keywords in English
Nonlocal boundary value problem, system of eigenvalues and eigenfunctions, nonlocal boundary value problem of the Fucik type, selfadjoint operator
Length of the covering note
IV s. 84 s.
Language
CZ
Annotation
Práce se zabývá otázkami řešitelnosti nelokálních neboli vícebodových okrajových úloh. Konkrétně se v práci zkoumají tři úlohy: tříbodová okrajová úloha, tříbodová okrajová úloha s tlumením a čtyřbodová okrajová úloha.
Hledáme systémy vlastních čísel a jim odpovídající systémy vlastních funkcí. Dále ukazujeme zajímavou myšlenku transformace vícebodové okrajové úlohy na jinou úlohu a na příkladě ukazujeme ekvivalenci použitých postupů.
Naznačujeme dvě další transformace vícebodové okrajové úlohy s tlumením na vícebodovu okrajovou úlohu bez tlumení. Ovšem zaplatíme za to tak, že bud' obdržíme okrajovou úlohu s jinými koncovými body a nekonstantním koeficientem v rovnici, anebo dostaneme úlohu s jinou tříbodovou podmínkou s nejednotkovým koeficientem.
Na konci práce hledáme tzv. Fučíkovo spektrum tříbodové úlohy a ukazujeme analytické předpisy Fučíkových větví a hledáme netriviální řešení úlohy pomocí prostředí MATLAB. Jinými slovy hledáme vlastní funkce příslušné úlohy. Veškeré výsledky pro různé hodnoty parametrů graficky znázorňujeme.
Annotation in English
Our diploma thesis deals with questions of solvability or multipoint or nonlocal boundary value problems. Specifically, in this work are investigated the following boundary value problems: three-point problem, three-point problem with damping and four-point problem.
We are looking for systems of eigenvalues and corresponding eigenfunctions systems. Furthermore, we show an interesting idea of transformation multipoint boundary value problems for another problem, and we show the equivalence of the procedures on the example. We also suggest two further transformation multipoint boundary value problems with damping in multi-point boundary value problem without damping. But pay for it so that either receive a marginal role with other end points and non-constant factor in the equation, or get a boundary problem with another three-point condition.
At the end of the work we are looking for the Fucik spectrum of three-point problem and show regulations Fucik branches and look for a nontrivial solution of the problem using MATLAB. All results for different parameter values graphically illustrates.
Keywords
Nelokální okrajová úloha, systém vlastních čísel, systém vlastních funkcí, samoadjungovaný operátor, nelokální okrajová úloha Fučíkova typu
Keywords in English
Nonlocal boundary value problem, system of eigenvalues and eigenfunctions, nonlocal boundary value problem of the Fucik type, selfadjoint operator
Research Plan
Nastudovat známé výsledky týkající se řešitelnosti základních nelokálních okrajových úloh, speciálně tříbodové a čtyřbodové úlohy.
U vybraných úloh nalézt vlastní čísla a vlastní funkce příslušných nelokálních operátorů a zaměřit se na jejich závislost na parametrech úlohy.
Nastudovat známé výsledky týkající se struktury Fučíkova spektra základních nelokálních operátorů.
Uvažovat modifikace základních nelokálních operátorů a odvodit analytický popis jejich Fučíkova spektra. Teoretické výsledky ilustrovat vhodnými numerickými experimenty.
Využít znalost bodového a Fučíkova spektra vybraných operátorů a rozhodnout o řešitelnosti příslušných nelineárních okrajových úloh.
Research Plan
Nastudovat známé výsledky týkající se řešitelnosti základních nelokálních okrajových úloh, speciálně tříbodové a čtyřbodové úlohy.
U vybraných úloh nalézt vlastní čísla a vlastní funkce příslušných nelokálních operátorů a zaměřit se na jejich závislost na parametrech úlohy.
Nastudovat známé výsledky týkající se struktury Fučíkova spektra základních nelokálních operátorů.
Uvažovat modifikace základních nelokálních operátorů a odvodit analytický popis jejich Fučíkova spektra. Teoretické výsledky ilustrovat vhodnými numerickými experimenty.
Využít znalost bodového a Fučíkova spektra vybraných operátorů a rozhodnout o řešitelnosti příslušných nelineárních okrajových úloh.
Recommended resources
S. Fučík: Solvability of nonlinear equations and boundary value problems. D. Reidel Publ. Company, Holland (1980).
G. Holubová, P. Nečesal: Nontrivial Fučík spectrum of one non-selfadjoint operator. Nonlinear Analysis 69 (2008), 2930-2941.
G. Holubová, P. Nečesal: Nonlinear four-point problem: non-resonance with respect to the Fučík spectrum. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 71 (2009), 4559-4567.
G. Bognár, J. Čepička, P. Drábek, P. Nečesal, E. Rozgonyi: Necessary and sufficient conditions for the existence of solution to three-point BVP. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 69 (2008), 2984-2995.
N. Sergejeva: Fučík spectrum for the second order BVP with nonlocal boundary condition. Nonlinear Anal., Model. Control 12 (2007), 419-429.
Recommended resources
S. Fučík: Solvability of nonlinear equations and boundary value problems. D. Reidel Publ. Company, Holland (1980).
G. Holubová, P. Nečesal: Nontrivial Fučík spectrum of one non-selfadjoint operator. Nonlinear Analysis 69 (2008), 2930-2941.
G. Holubová, P. Nečesal: Nonlinear four-point problem: non-resonance with respect to the Fučík spectrum. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 71 (2009), 4559-4567.
G. Bognár, J. Čepička, P. Drábek, P. Nečesal, E. Rozgonyi: Necessary and sufficient conditions for the existence of solution to three-point BVP. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 69 (2008), 2984-2995.
N. Sergejeva: Fučík spectrum for the second order BVP with nonlocal boundary condition. Nonlinear Anal., Model. Control 12 (2007), 419-429.
