Hlavním tématem práce je studium existence řešení okrajových problémů se skákajícími nelinearitami.
V první kapitole je čtenář obeznámen s řadou základních pojmů z funkcionální analýzy. Druhá kapitola je věnována krátkému úvodu do problematiky skákajících nelinearit a pojmu Fučíkova spektra.
Ve třetí kapitole je studováno Fučíkovo spektrum dvou konkrétních diferenciálních operátorů.
Čtvrtá kapitola navazuje v rámci studia řešitelnosti uvažovaných problémů na znalosti o struktuře Fučíkova spektra uvažovaných operátorů získané v předchozí kapitole.
Tuto kapitolu lze rozdělit do dvou částí.
V první části studujeme řešitelnost Dirichletova problému a nelokálního problému s integrální podmínkou.
Ve druhé části kapitoly uvažujeme velmi obecně formulovaný problém.
Zde získané hlavní výsledky jsou soustředěny do tří existenčních vět.
V poslední kapitole zasazujeme problémy se skákající nelinearitou do kontextu operátorových rovnic v abstraktních Banachových prostorech. S využitím teorie Mawhinova koincidenčního stupně získáme existenční výsledky pro tyto problémy na regionech typu (I) a v rezonanci.
Annotation in English
This thesis deals with solvability of problems with jumping nonlinearities.
In the first chapter we remind some basic functional analysis theory.
The second chapter of the thesis introduces a term of jumping nonlinearity and Fučík spectrum.
In the third chapter we focus on the structure of Fučík spectrum of two
differential operators.
The fourth chapter can be divided into two parts. In the first part we
prove some existence results for Dirichlet BVP and nonlocal BVP with integral condition.
In the second part we consider a general problem with jumping nonlinearities.
Main results obtained in this chapter are concentrated in three general existence theorems.
In the last chapter we place problems with jumping nonlinearities in context of operator equations in abstract Banach spaces. Here, we prove some existence results for such problems on type (I) regions and at resonance using Mawhin's coincidence degree theory.
Hlavním tématem práce je studium existence řešení okrajových problémů se skákajícími nelinearitami.
V první kapitole je čtenář obeznámen s řadou základních pojmů z funkcionální analýzy. Druhá kapitola je věnována krátkému úvodu do problematiky skákajících nelinearit a pojmu Fučíkova spektra.
Ve třetí kapitole je studováno Fučíkovo spektrum dvou konkrétních diferenciálních operátorů.
Čtvrtá kapitola navazuje v rámci studia řešitelnosti uvažovaných problémů na znalosti o struktuře Fučíkova spektra uvažovaných operátorů získané v předchozí kapitole.
Tuto kapitolu lze rozdělit do dvou částí.
V první části studujeme řešitelnost Dirichletova problému a nelokálního problému s integrální podmínkou.
Ve druhé části kapitoly uvažujeme velmi obecně formulovaný problém.
Zde získané hlavní výsledky jsou soustředěny do tří existenčních vět.
V poslední kapitole zasazujeme problémy se skákající nelinearitou do kontextu operátorových rovnic v abstraktních Banachových prostorech. S využitím teorie Mawhinova koincidenčního stupně získáme existenční výsledky pro tyto problémy na regionech typu (I) a v rezonanci.
Annotation in English
This thesis deals with solvability of problems with jumping nonlinearities.
In the first chapter we remind some basic functional analysis theory.
The second chapter of the thesis introduces a term of jumping nonlinearity and Fučík spectrum.
In the third chapter we focus on the structure of Fučík spectrum of two
differential operators.
The fourth chapter can be divided into two parts. In the first part we
prove some existence results for Dirichlet BVP and nonlocal BVP with integral condition.
In the second part we consider a general problem with jumping nonlinearities.
Main results obtained in this chapter are concentrated in three general existence theorems.
In the last chapter we place problems with jumping nonlinearities in context of operator equations in abstract Banach spaces. Here, we prove some existence results for such problems on type (I) regions and at resonance using Mawhin's coincidence degree theory.
Nastudujte známé výsledky o Fučíkově spektru pro okrajové úlohy s nelokálními okrajovými podmínkami. Do těchto okrajových úloh navíc přidejte tlumicí člen a proveďte rekonstrukci Fučíkových spekter pro odpovídající diferenciální operátory. Pokuste se získat úplný analytický popis Fučíkova spektra.
Druhá část práce bude věnována řešitelnosti okrajových úloh se skákajícími nelinearitami a nelokálními okrajovými podmínkami. Bude studována existence řešení formulovaných úloh pro různé pravé strany diferenciálních rovnic.
Research Plan
Nastudujte známé výsledky o Fučíkově spektru pro okrajové úlohy s nelokálními okrajovými podmínkami. Do těchto okrajových úloh navíc přidejte tlumicí člen a proveďte rekonstrukci Fučíkových spekter pro odpovídající diferenciální operátory. Pokuste se získat úplný analytický popis Fučíkova spektra.
Druhá část práce bude věnována řešitelnosti okrajových úloh se skákajícími nelinearitami a nelokálními okrajovými podmínkami. Bude studována existence řešení formulovaných úloh pro různé pravé strany diferenciálních rovnic.
Recommended resources
Coddington, E. A.; Levinson, N.: Theory of ordinary differential equations. New York, Toronto, London: McGill--Hill Book Company, Inc. XII, 429 p. (1955).
Fučík, S.: Solvability of nonlinear equations and boundary value problems. Mathematics and its Applications, 4. Dordrecht -- Boston -- London: D. Reidel Publishing Company. X, 390 p. (1980).
Sergejeva, N.: On some problems with nonlocal integral condition. Math. Model. Anal. 15, No. 1, 113--126 (2010).
Sergejeva, N.: Fučík spectrum for the second order BVP with nonlocal boundary condition. Nonlinear Anal., Model. Control 12, No. 3, 419--429 (2007).
Recommended resources
Coddington, E. A.; Levinson, N.: Theory of ordinary differential equations. New York, Toronto, London: McGill--Hill Book Company, Inc. XII, 429 p. (1955).
Fučík, S.: Solvability of nonlinear equations and boundary value problems. Mathematics and its Applications, 4. Dordrecht -- Boston -- London: D. Reidel Publishing Company. X, 390 p. (1980).
Sergejeva, N.: On some problems with nonlocal integral condition. Math. Model. Anal. 15, No. 1, 113--126 (2010).
Sergejeva, N.: Fučík spectrum for the second order BVP with nonlocal boundary condition. Nonlinear Anal., Model. Control 12, No. 3, 419--429 (2007).
