Tato diplomová práce je zaměřena na studium vlastností Fučíkova spektra nesymetrického diferenčního operátoru a na řešitelnost okrajových úloh. Nejdříve vyšetřujeme vlastnosti Neumannova diferenčního operátoru. Hlavní výsledky se týkají popisu jeho Pareto spektra, polárního Pareto spektra a souvislosti s asymptotickým chováním větví Fučíkova spektra. Potom se zabýváme řešitelností okrajových úloh pro diferenční rovnice vzhledem k Fučíkovu spektru. Nakonec se zabýváme tvarem netriviálních řešení Dirichletovy okrajové úlohy definované množině, která obsahuje intervaly a diskrétní body.
Annotation in English
This Diploma Thesis is devoted to the study of properties of the Fučík spectrum of the asymmetric difference operator and solvability of boundary value problems. At first, the properties of the Neumann difference operator are studied. The main results concern description of its Pareto spectrum, polar Pareto spectrum and relationship to an asymptotic behaviour of curves of its Fučík spectrum. After that, solvability of the boundary value problems for difference equations with respect to the Fučík spectrum is investigated. Finally, the nontrivial solutions of the Dirichlet boundary value problem defined on the set which contains intervals and discrete points are investigated.
the Fučík spectrum, the Pareto spectrum, the polar Pareto spectrum, the boundary value problem, the difference operator, asymmetric matrix, solvability of the boundary value problem
Length of the covering note
65 s., iv s.
Language
CZ
Annotation
Tato diplomová práce je zaměřena na studium vlastností Fučíkova spektra nesymetrického diferenčního operátoru a na řešitelnost okrajových úloh. Nejdříve vyšetřujeme vlastnosti Neumannova diferenčního operátoru. Hlavní výsledky se týkají popisu jeho Pareto spektra, polárního Pareto spektra a souvislosti s asymptotickým chováním větví Fučíkova spektra. Potom se zabýváme řešitelností okrajových úloh pro diferenční rovnice vzhledem k Fučíkovu spektru. Nakonec se zabýváme tvarem netriviálních řešení Dirichletovy okrajové úlohy definované množině, která obsahuje intervaly a diskrétní body.
Annotation in English
This Diploma Thesis is devoted to the study of properties of the Fučík spectrum of the asymmetric difference operator and solvability of boundary value problems. At first, the properties of the Neumann difference operator are studied. The main results concern description of its Pareto spectrum, polar Pareto spectrum and relationship to an asymptotic behaviour of curves of its Fučík spectrum. After that, solvability of the boundary value problems for difference equations with respect to the Fučík spectrum is investigated. Finally, the nontrivial solutions of the Dirichlet boundary value problem defined on the set which contains intervals and discrete points are investigated.
the Fučík spectrum, the Pareto spectrum, the polar Pareto spectrum, the boundary value problem, the difference operator, asymmetric matrix, solvability of the boundary value problem
Research Plan
Uvažujte obyčejný diferenciální operátor druhého řádu s Vámi zvolenými okrajovými podmínkami. Proveďte různé diskretizace tohoto operátoru. Pro získané diferenční operátory popište kvalitativní vlastnosti jejich Fučíkova spektra.
Zaměřte se na studium asymptotického chování Fučíkových větví pro diferenční operátory z předchozího bodu. Prozkoumejte nodální vlastnosti odpovídajících Fučíkových vlastních vektorů.
Popište Pareto vlastní čísla uvažovaných diferenčních operátorů. Prozkoumejte vztah mezi těmito Pareto vlastními čísly a asymptotami Fučíkových větví.
Zaměřte se na studium kvalitativních vlastností Fučíkova spektra pro operátory druhého řádu na časových škálách.
Studujte řešitelnost problému v rezonanci vzhledem k Fučíkově spektru. Formulujte postačující podmínky Landesman-Lazerova typu pro existenci alespoň jednoho řešení úlohy. Úlohu v rezonanci uvažujte pro spojité i diskrétní operátory, jejichž Fučíkovo spektrum je zkoumáno v předchozích bodech. Prozkoumejte též řešitelnost úlohy v rezonanci na časových škálách.
Research Plan
Uvažujte obyčejný diferenciální operátor druhého řádu s Vámi zvolenými okrajovými podmínkami. Proveďte různé diskretizace tohoto operátoru. Pro získané diferenční operátory popište kvalitativní vlastnosti jejich Fučíkova spektra.
Zaměřte se na studium asymptotického chování Fučíkových větví pro diferenční operátory z předchozího bodu. Prozkoumejte nodální vlastnosti odpovídajících Fučíkových vlastních vektorů.
Popište Pareto vlastní čísla uvažovaných diferenčních operátorů. Prozkoumejte vztah mezi těmito Pareto vlastními čísly a asymptotami Fučíkových větví.
Zaměřte se na studium kvalitativních vlastností Fučíkova spektra pro operátory druhého řádu na časových škálách.
Studujte řešitelnost problému v rezonanci vzhledem k Fučíkově spektru. Formulujte postačující podmínky Landesman-Lazerova typu pro existenci alespoň jednoho řešení úlohy. Úlohu v rezonanci uvažujte pro spojité i diskrétní operátory, jejichž Fučíkovo spektrum je zkoumáno v předchozích bodech. Prozkoumejte též řešitelnost úlohy v rezonanci na časových škálách.
Recommended resources
Bohner, M.; Peterson, A.: Advances in dynamic equations on time scales.
Boston, MA: Birkhäuser, xi + 348 p. (2003).
Bohner, M.; Peterson, A.: Dynamic equations on time scales. An introduction with applications.
Basel: Birkhäuser, x + 358 p. (2001).
Coddington, E. A.; Levinson, N.: Theory of ordinary differential equations.
New York, Toronto, London: McGill-Hill Book Company, Inc. XII, 429 p. (1955).
Fučík, S.: Solvability of nonlinear equations and boundary value problems.
Mathematics and its Applications, 4. Dordrecht - Boston - London: D. Reidel Publishing Company. X, 390 p. (1980).
Holubová, G.; Nečesal, P.: Resonance with respect to the Fučík spectrum for non-selfadjoint operators.
Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 93 (2013), 147-154.
Ma, R.; Xu, Y.; Gao, Ch.: Spectrum of Linear Difference Operators and the Solvability of Nonlinear Discrete Problems.
Discrete Dyn. Nat. Soc. (2010), 27p.
Seeger, A.; Vicente-Perez, J.: On cardinality of Pareto spectra.
Electron. J. Linear Algebra 22 (2011), 758-766.
Recommended resources
Bohner, M.; Peterson, A.: Advances in dynamic equations on time scales.
Boston, MA: Birkhäuser, xi + 348 p. (2003).
Bohner, M.; Peterson, A.: Dynamic equations on time scales. An introduction with applications.
Basel: Birkhäuser, x + 358 p. (2001).
Coddington, E. A.; Levinson, N.: Theory of ordinary differential equations.
New York, Toronto, London: McGill-Hill Book Company, Inc. XII, 429 p. (1955).
Fučík, S.: Solvability of nonlinear equations and boundary value problems.
Mathematics and its Applications, 4. Dordrecht - Boston - London: D. Reidel Publishing Company. X, 390 p. (1980).
Holubová, G.; Nečesal, P.: Resonance with respect to the Fučík spectrum for non-selfadjoint operators.
Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 93 (2013), 147-154.
Ma, R.; Xu, Y.; Gao, Ch.: Spectrum of Linear Difference Operators and the Solvability of Nonlinear Discrete Problems.
Discrete Dyn. Nat. Soc. (2010), 27p.
Seeger, A.; Vicente-Perez, J.: On cardinality of Pareto spectra.
Electron. J. Linear Algebra 22 (2011), 758-766.
