Bakalářská práce nás provází historií, definicemi a využitím goniometrických vztahů v oblasti goniometrie a trigonometrie. V první části práce se seznámíme se stručnou historií goniometrických funkcí ať už v počátku starověku či středověku, tak také v období 15. a 17. století. V závěru první kapitoly je zmíněn odlišný pohled na tyto funkce Leonhardem Eulerem, který jim dal novodobou podobu.
Druhá část této práce se věnuje tomu, jak a v jakých jednotkách obecně měříme úhly. Zmíněny jsou zde také základní definice goniometrických funkcí a rozdíly mezi nimi. Ať už pomocí jednotkové kružnice, tak či pomocí pravoúhlého trojúhelníku.
Třetí část se věnuje goniometrií pravoúhlých trojúhelníků, funkcí ostrých úhlů, které přechází v podobnost a shodnost trojúhelníků. Tyto pojmy pro nás byly stěžejní pro definici a odvození věty Pythagorovi a vět Thaletových.
Čtvrtá část definuje a odvozuje asi nejpoužívanější větu v oblasti obecného trojúhelníku. Zmíněnou a odvozenou větou je tím pádem věta sinová a kosinová. V závěru této čtvrté kapitoly jsou vypsány a odvozeny některé goniometrické vztahy.
V páté části jsou nastíněny základní goniometrické vztahy pomocí jednoduchým grafů. V přiložených tabulkových jsou pak vypsány některé vlastnosti těchto funkcí, jako jsou např. znaménka v jednotlivých kvadrantech či hodnoty těchto funkcí pro význačné úhly.
Poslední a tedy šestou částí této bakalářské práce je využití goniometrických funkcí v oblasti matematické analýzy. V té se zabýváme vyjádřením goniometrických funkcí pomocí mocninných řad a pomocí diferenciálních rovnic. Dále pak jaké využití mají tyto funkce v oblasti integrálního počty, kdy je využíváme jako vhodné substituce. Závěr této kapitoly uceluje veškeré naše znalosti v oblasti vyšší matematiky, kdy pomocí integrálního počtu definujeme a na základních příkladech počítáme délku rovinné křivky.
Annotation in English
Bachelor thesis describes history, definitions and using trigonometric relationships in geometry and trigonometry. In the first part, we introduce a brief history of trigonometric functions both in antiquity and the early Middle Ages, as well as in the 15th-17th centuries. At the end of the first chapter mentions a different take on these functions Leonhard Euler, who gave them a modern look.
The second part of this bachelor´s thesis examines how and in what units we generally measure angles. There are mentioned even basic definitions of trigonometric functions and the differences between them. Whether using the unit circle, one way or using a right triangle.
In the the third part we deals with goniometry right triangles, functions of sharp angles that passes the similarity and commonality of triangles. These concepts were crucial for us to define a illation of Pythagoras theorem and Thales' theorem.
The fourth section defines and illation probably the most used theorems in general triangle. We mentioned these sentence of sine and cosine. At the end of the fourth chapter are listed and illative some trigonometric relationships.
In the fifth section outlines the basic trigonometric relationships using simple graphs. In the attached table are then listed some of the properties of these functions, such as marks in each quadrant and the values of these functions prominent angles.
The sixth and last part of this thesis is the use of trigonometric functions in mathematical analysis. In mathematical analysis we dealing with the expression of trigonometric functions using power series and using differential equations. Furthermore, what use these functions in integral calculus, which we use as a suitable substitution. Conclusion purposes of this chapter, all our knowledge of higher mathematics when using integral calculus to define a basic example we calculate the length of the plane curve.
Keywords
matematika, trigonometrie, goniometrie, sinus, kosinus, tangens, kotangens
Bakalářská práce nás provází historií, definicemi a využitím goniometrických vztahů v oblasti goniometrie a trigonometrie. V první části práce se seznámíme se stručnou historií goniometrických funkcí ať už v počátku starověku či středověku, tak také v období 15. a 17. století. V závěru první kapitoly je zmíněn odlišný pohled na tyto funkce Leonhardem Eulerem, který jim dal novodobou podobu.
Druhá část této práce se věnuje tomu, jak a v jakých jednotkách obecně měříme úhly. Zmíněny jsou zde také základní definice goniometrických funkcí a rozdíly mezi nimi. Ať už pomocí jednotkové kružnice, tak či pomocí pravoúhlého trojúhelníku.
Třetí část se věnuje goniometrií pravoúhlých trojúhelníků, funkcí ostrých úhlů, které přechází v podobnost a shodnost trojúhelníků. Tyto pojmy pro nás byly stěžejní pro definici a odvození věty Pythagorovi a vět Thaletových.
Čtvrtá část definuje a odvozuje asi nejpoužívanější větu v oblasti obecného trojúhelníku. Zmíněnou a odvozenou větou je tím pádem věta sinová a kosinová. V závěru této čtvrté kapitoly jsou vypsány a odvozeny některé goniometrické vztahy.
V páté části jsou nastíněny základní goniometrické vztahy pomocí jednoduchým grafů. V přiložených tabulkových jsou pak vypsány některé vlastnosti těchto funkcí, jako jsou např. znaménka v jednotlivých kvadrantech či hodnoty těchto funkcí pro význačné úhly.
Poslední a tedy šestou částí této bakalářské práce je využití goniometrických funkcí v oblasti matematické analýzy. V té se zabýváme vyjádřením goniometrických funkcí pomocí mocninných řad a pomocí diferenciálních rovnic. Dále pak jaké využití mají tyto funkce v oblasti integrálního počty, kdy je využíváme jako vhodné substituce. Závěr této kapitoly uceluje veškeré naše znalosti v oblasti vyšší matematiky, kdy pomocí integrálního počtu definujeme a na základních příkladech počítáme délku rovinné křivky.
Annotation in English
Bachelor thesis describes history, definitions and using trigonometric relationships in geometry and trigonometry. In the first part, we introduce a brief history of trigonometric functions both in antiquity and the early Middle Ages, as well as in the 15th-17th centuries. At the end of the first chapter mentions a different take on these functions Leonhard Euler, who gave them a modern look.
The second part of this bachelor´s thesis examines how and in what units we generally measure angles. There are mentioned even basic definitions of trigonometric functions and the differences between them. Whether using the unit circle, one way or using a right triangle.
In the the third part we deals with goniometry right triangles, functions of sharp angles that passes the similarity and commonality of triangles. These concepts were crucial for us to define a illation of Pythagoras theorem and Thales' theorem.
The fourth section defines and illation probably the most used theorems in general triangle. We mentioned these sentence of sine and cosine. At the end of the fourth chapter are listed and illative some trigonometric relationships.
In the fifth section outlines the basic trigonometric relationships using simple graphs. In the attached table are then listed some of the properties of these functions, such as marks in each quadrant and the values of these functions prominent angles.
The sixth and last part of this thesis is the use of trigonometric functions in mathematical analysis. In mathematical analysis we dealing with the expression of trigonometric functions using power series and using differential equations. Furthermore, what use these functions in integral calculus, which we use as a suitable substitution. Conclusion purposes of this chapter, all our knowledge of higher mathematics when using integral calculus to define a basic example we calculate the length of the plane curve.
Keywords
matematika, trigonometrie, goniometrie, sinus, kosinus, tangens, kotangens
1. Historie goniometrie. Zavedení goniometrických funkcí: Pythagorova věta,
sinová a kosinová věta a jejich důkazy. Velikost úhlu ve stupňové a obloukové míře.
Základní goniometrické funkce.
2. Korektní zavedení goniometrických funkcí. Výpočty hodnot goniometrických funkcí
pomocí technik z matematické analýzy.
3. Využití goniometrických vzorců při výpočtech z oblasti matematické analýzy.
Rozvržení práce:
1. Seznámení s literaturou knižní i časopiseckou - do 30. 10. 2013
2. Příprava konceptu BP - do 31. 3. 2014
3. Závěrečné úpravy a definitivní uzavření textu - do 30. 6. 2014
Research Plan
1. Historie goniometrie. Zavedení goniometrických funkcí: Pythagorova věta,
sinová a kosinová věta a jejich důkazy. Velikost úhlu ve stupňové a obloukové míře.
Základní goniometrické funkce.
2. Korektní zavedení goniometrických funkcí. Výpočty hodnot goniometrických funkcí
pomocí technik z matematické analýzy.
3. Využití goniometrických vzorců při výpočtech z oblasti matematické analýzy.
Rozvržení práce:
1. Seznámení s literaturou knižní i časopiseckou - do 30. 10. 2013
2. Příprava konceptu BP - do 31. 3. 2014
3. Závěrečné úpravy a definitivní uzavření textu - do 30. 6. 2014
Recommended resources
Bušek, I., Boček, L., Calda, E. Základní poznatky z matematiky.
Praha: Prometheus, 1992.
Děmidovič, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické
analýzy. Fragment, 2003.
Jarník, V. Diferenciální počet I. Praha: Academia, 1984.
Odvárko,O. Goniometrie pro gymnázia. Praha: Prometheus, 1994.
Odvárko, O. Goniometrie - Sbírka úloh pro gymnázia.
Praha: Prometheus, 1997.
Recommended resources
Bušek, I., Boček, L., Calda, E. Základní poznatky z matematiky.
Praha: Prometheus, 1992.
Děmidovič, B. P. Sbírka úloh a cvičení z matematické
analýzy. Fragment, 2003.
Jarník, V. Diferenciální počet I. Praha: Academia, 1984.
Odvárko,O. Goniometrie pro gymnázia. Praha: Prometheus, 1994.
Odvárko, O. Goniometrie - Sbírka úloh pro gymnázia.
Praha: Prometheus, 1997.
