Tato bakalářská práce je zaměřena na studium nelokální nelineární okrajové úlohy s parametry ve tvaru
-u'' = \lambda u, u=u(x), x \in (0, \pi), u(0)=0,
\left(\int_0^\pi \left(u^+\right )^p \dd x \right)^{\frac1p =\left(\int_0^\pi \left(u^-\right )^q \dd x \right)^{\frac1q.
Studujeme existenci a jednoznačnost prvního vlastního čísla zjednodušeného modelu, kdy uvažujeme p=1, respektive q=1.
Poté odvodíme rovnice, které popisují bodové spektrum této úlohy. Zavedením p=1, respektive q=1 je znovu zjednodušíme a diskutujeme jejich řešitelnost.
Annotation in English
This Bachelor thesis is devoted to study of a parameter dependent nonlocal nonlinear boundary value problem
-u'' = \lambda u, u=u(x), x \in (0, \pi), u(0)=0,
\left(\int_0^\pi \left(u^+\right )^p \dd x \right)^{\frac1p =\left(\int_0^\pi \left(u^-\right )^q \dd x \right)^{\frac1q.
Our aim is to study the existence and uniqueness of the first eigenvalue of simplified model while we consider p=1 and q=1, respectively.
We deduce equations that describe the point spectrum of this model. Afterthat, while considering p=1 and q=1, respectively, we simplify these equations and discuss their solvability.
Keywords
vlastní čísla, okrajová úloha, nelokální okrajová úloha, Fučíkovo spektrum
Keywords in English
eigenvalues, boundary value problem, nonlocal boundary value problem, the Fučík spectrum
Length of the covering note
61 s.
Language
CZ
Annotation
Tato bakalářská práce je zaměřena na studium nelokální nelineární okrajové úlohy s parametry ve tvaru
-u'' = \lambda u, u=u(x), x \in (0, \pi), u(0)=0,
\left(\int_0^\pi \left(u^+\right )^p \dd x \right)^{\frac1p =\left(\int_0^\pi \left(u^-\right )^q \dd x \right)^{\frac1q.
Studujeme existenci a jednoznačnost prvního vlastního čísla zjednodušeného modelu, kdy uvažujeme p=1, respektive q=1.
Poté odvodíme rovnice, které popisují bodové spektrum této úlohy. Zavedením p=1, respektive q=1 je znovu zjednodušíme a diskutujeme jejich řešitelnost.
Annotation in English
This Bachelor thesis is devoted to study of a parameter dependent nonlocal nonlinear boundary value problem
-u'' = \lambda u, u=u(x), x \in (0, \pi), u(0)=0,
\left(\int_0^\pi \left(u^+\right )^p \dd x \right)^{\frac1p =\left(\int_0^\pi \left(u^-\right )^q \dd x \right)^{\frac1q.
Our aim is to study the existence and uniqueness of the first eigenvalue of simplified model while we consider p=1 and q=1, respectively.
We deduce equations that describe the point spectrum of this model. Afterthat, while considering p=1 and q=1, respectively, we simplify these equations and discuss their solvability.
Keywords
vlastní čísla, okrajová úloha, nelokální okrajová úloha, Fučíkovo spektrum
Keywords in English
eigenvalues, boundary value problem, nonlocal boundary value problem, the Fučík spectrum
Research Plan
Nastudovat standardní úlohy na vlastní čísla a známé Fučíkovy úlohy.
Uvažovat modifikace předchozích úloh s nelineárními okrajovými podmínkami a zaměřit se na závislost bodového a Fučíkova spektra na parametrech úlohy.
Porovnat teoretické výsledky s numerickými experimenty.
Research Plan
Nastudovat standardní úlohy na vlastní čísla a známé Fučíkovy úlohy.
Uvažovat modifikace předchozích úloh s nelineárními okrajovými podmínkami a zaměřit se na závislost bodového a Fučíkova spektra na parametrech úlohy.
Porovnat teoretické výsledky s numerickými experimenty.
Recommended resources
A. Kufner: Obyčejné diferenciální rovnice. Západočeská univerzita, Plzeň (1993).
S. Fučík: Boundary value problems with jumping nonlinearities. Časopis pro pěstování matematiky, vol. 101 (1976), 69-87.
F. Sadyrbaev, A. Gritsans: Nonlinear Spectra for Parameter Dependent Ordinary Differential Equations. Nonlinear Analysis: Modelling and Control 12, No. 2 (2007), 253 - 267.
N. Sergejeva: Fučík spectrum for the second order BVP with nonlocal boundary condition. Nonlinear Anal., Model. Control 12 (2007), 419-429.
Recommended resources
A. Kufner: Obyčejné diferenciální rovnice. Západočeská univerzita, Plzeň (1993).
S. Fučík: Boundary value problems with jumping nonlinearities. Časopis pro pěstování matematiky, vol. 101 (1976), 69-87.
F. Sadyrbaev, A. Gritsans: Nonlinear Spectra for Parameter Dependent Ordinary Differential Equations. Nonlinear Analysis: Modelling and Control 12, No. 2 (2007), 253 - 267.
N. Sergejeva: Fučík spectrum for the second order BVP with nonlocal boundary condition. Nonlinear Anal., Model. Control 12 (2007), 419-429.
