Tato diplomová práce se zabývá úlohou na vlastní čísla a Fučíkovým spektrem radiálně symetrického Laplaceova operátoru s nelokální (integrální) okrajovou podmínkou.
Nejdříve vyšetřujeme tuto úlohu v první dimenzi, poté v druhé a obecně v n-té dimenzi. Mezi hlavní výsledky této práce patří analytické vyjádření první větve Fučíkova spektra v druhé dimenzi, omezení na oblast, ve které Fučíkovo spektrum leží (v obecné dimenzi), a odvození tečen Fučíkova spektra ve vlastních číslech (v obecné dimenzi).
Annotation in English
This thesis is devoted to studying of an eigenvalue problem of radially symmetric Laplace operator with a nonlocal (integral) boundary condition.
In addition, we are interested in describing the so-called Fučík spectrum of the corresponding problem.
First, we deal with our problem in the first dimension, then in higher dimensions (2 and in general n).
The main result of our thesis is an analytical description of the first branch of the Fučík spectrum in the second dimension. We also restrict the region where the Fučík spectrum lies and give a description of tangents to Fučík curves in the eigenvalues.
Keywords
radiálně symetrický Laplaceův operátor, nelokální okrajová podmínka, úloha na vlastní čísla, Fučíkovo spektrum
Tato diplomová práce se zabývá úlohou na vlastní čísla a Fučíkovým spektrem radiálně symetrického Laplaceova operátoru s nelokální (integrální) okrajovou podmínkou.
Nejdříve vyšetřujeme tuto úlohu v první dimenzi, poté v druhé a obecně v n-té dimenzi. Mezi hlavní výsledky této práce patří analytické vyjádření první větve Fučíkova spektra v druhé dimenzi, omezení na oblast, ve které Fučíkovo spektrum leží (v obecné dimenzi), a odvození tečen Fučíkova spektra ve vlastních číslech (v obecné dimenzi).
Annotation in English
This thesis is devoted to studying of an eigenvalue problem of radially symmetric Laplace operator with a nonlocal (integral) boundary condition.
In addition, we are interested in describing the so-called Fučík spectrum of the corresponding problem.
First, we deal with our problem in the first dimension, then in higher dimensions (2 and in general n).
The main result of our thesis is an analytical description of the first branch of the Fučík spectrum in the second dimension. We also restrict the region where the Fučík spectrum lies and give a description of tangents to Fučík curves in the eigenvalues.
Keywords
radiálně symetrický Laplaceův operátor, nelokální okrajová podmínka, úloha na vlastní čísla, Fučíkovo spektrum
Nastudovat standardní úlohy na vlastní čísla pro radiálně symetrický Laplaceův operátor a seznámit se s Besselovými funkcemi a jejich vlastnostmi.
Nastudovat známé Fučíkovy úlohy.
Uvažovat modifikace předchozích úloh s nelokálními okrajovými podmínkami a zaměřit se na závislost bodového (případně Fučíkova) spektra na parametrech úlohy. Získané spektrální vlastnosti využít k zodpovězení vybraných otázek týkajících se řešitelnosti úloh Laplaceova typu.
Porovnat teoretické výsledky s numerickými experimenty.
Research Plan
Nastudovat standardní úlohy na vlastní čísla pro radiálně symetrický Laplaceův operátor a seznámit se s Besselovými funkcemi a jejich vlastnostmi.
Nastudovat známé Fučíkovy úlohy.
Uvažovat modifikace předchozích úloh s nelokálními okrajovými podmínkami a zaměřit se na závislost bodového (případně Fučíkova) spektra na parametrech úlohy. Získané spektrální vlastnosti využít k zodpovězení vybraných otázek týkajících se řešitelnosti úloh Laplaceova typu.
Porovnat teoretické výsledky s numerickými experimenty.
Recommended resources
M. Arias, J. Campos: Radial Fučík Spectrum of the Laplace Operator, J. Math. Anal. Appl. 190 (1995), 654-666.
Abramowitz, M., I. A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions, US Government Printing Office, Washington, DC, 1964.
S. Fučík: Boundary value problems with jumping nonlinearities. Časopis pro pěstování matematiky, vol. 101 (1976), 69-87.
N. Sergejeva: Fučík spectrum for the second order BVP with nonlocal boundary condition. Nonlinear Anal., Model. Control 12 (2007), 419-429.
P. Drábek: The p-Laplacian mascot of nonlinear analysis. Proceedings of Equadiff 11. Bratislava: Comenius University Press (2007), 85-98.
B. M. Brown, W. Reichel: Computing eigenvalues and Fucik-spectrum of the radially symmetric p-Laplacian. J. Comput. Appl. Math. 148, 1 (2002), 183-211.
Recommended resources
M. Arias, J. Campos: Radial Fučík Spectrum of the Laplace Operator, J. Math. Anal. Appl. 190 (1995), 654-666.
Abramowitz, M., I. A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions, US Government Printing Office, Washington, DC, 1964.
S. Fučík: Boundary value problems with jumping nonlinearities. Časopis pro pěstování matematiky, vol. 101 (1976), 69-87.
N. Sergejeva: Fučík spectrum for the second order BVP with nonlocal boundary condition. Nonlinear Anal., Model. Control 12 (2007), 419-429.
P. Drábek: The p-Laplacian mascot of nonlinear analysis. Proceedings of Equadiff 11. Bratislava: Comenius University Press (2007), 85-98.
B. M. Brown, W. Reichel: Computing eigenvalues and Fucik-spectrum of the radially symmetric p-Laplacian. J. Comput. Appl. Math. 148, 1 (2002), 183-211.
